Eulers Linien

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts gab es in der preußischen Stadt Königsberg -- heute Kaliningrad -- ein mathematisches Problem, dass das ein oder andere Gemüt erhitzte und nicht auch zuletzt die Spaziergänger beschäftigte: Sieben Brücken überquerten den Fluß Pregel im Herzen der Stadt, der dort eine kleine Insel names "Kneiphof" umfloss. Man fragte sich, ob es möglich sei, einen Weg derart über die Brücken zu finden, dass jede Brücke nur einmal benutzt werden würde.

Die Frage erreichte schließlich den Mathematiker Leonard Euler, der sie auf elegante Art und Weise löste. Zuerst erkannte er, dass es nicht wichtig war, wo genau die Brücken lagen, sondern nur, welche Brücke welche Landstücke miteinander verbindet. Dazu fertigte er ein abstraktes Bild der Lage der Brücken an. Er ersetzte die Brücken durch Kanten und die Endpunkte der Brücken durch Knoten und zeichnete so einen Graphen. In diesem versuchte er einen Weg über die Kanten zu finden, so dass jede Kante genau einmal benutzt werden würde. Dabei erkannte er aber ziemlich schnell, dass es einen solchen Weg nicht geben kann.

Euler beobachtete nämlich, dass man, wann immer man über eine Kante ging und an einem Knoten angekommen war, von diesem aus über eine andere Kante wieder gehen musste. Das heißt aber, dass an jedem Knoten (abgesehen von Start und Ende) eine gerade Anzahl von Kanten anliegen muss -- auf der einen Hälfte geht man auf den Knoten zu und auf der anderen Hälte verlässt man ihn wieder.

Der Graph der sieben Brücken aus Königsberg hatte aber 4 Knoten, an denen eine ungerade Anzahl von Kanten anliegt, erlaubt sind aber höchstens zwei (Start und Ende). Damit kann es keinen Weg über alle Brücken geben, der jede Brücke nur einmal benutzt und Euler hatte das Problem gelöst. Er hatte aber sogar noch mehr geschafft: Er hatte mit seiner abstrakten Darstellung von Graphen das mathematische Gebiet der Graphentheorie erschaffen und auch noch ganz allgemein ein Kriterium für solche Wege gefunden, die heute zu seinen Ehren Eulerwege heißen.

Mit unserem Exponat Eulerlinien kannst Du auf die Spuren Eulers gehen und selbst solche Wege in Graphen finden. Nimm Dir dazu einfach die Schnur und führe sie über alle Kanten des Graphen. Findest Du sogar einen Weg, der dort aufhört, wo Du angefangen hast? Solche Wege heißen dann Eulerkreise. Kannst Du immer überall anfangen?

Wenn Du mehr wissen willst

Du findest im Wikipedia-Artikel zum Königsberger Brückenproblem noch interessante Verweise. Aus diesem Artikel sind auch die Bilder entnommen. Es gibt auch eine Vielzahl von Büchern über Graphentheorie -- von einfach bis schwer -- und auch über Euler findest Du jede Menge Bücher.