Primzahlen und die Faktoruhr

Die Faktoruhr zeigt die Uhrzeit in der Form Stunden : Minuten : Sekunden an, also als

und zerlegt dann die Zahl hhmmss in Primfaktoren. Beispielsweise wird eine Viertelstunde nach elf Uhr, also um 11:15:00, folgendes angezeigt:
 
Weil

gelten muss, kommen nicht alle der 1000000 sechsstelligen Zahlen vor, sondern nur so viele, wie der Tag Sekunden hat, nämlich 86400.

Darunter sind 7769 Primzahlen. Die letzte Primzahl-Zeit vor Mitternacht ist 23:59:51. Die Zahl 235951 ist Nr. 20903 unter allen Primzahlen, aber nur Nr. 7669 unter den Faktoruhr-Primzahlen.

Die Mehrzahl der 7669 Primzahlen, die die Faktoruhr anzeigen kann, bekommen die Besucher des Erlebnislands allerdings nicht zu sehen, weil sie außerhalb der Öffnungszeiten des Museums liegen:

• Zwischen 9:00 und 18:00 Uhr sind es 2731 Faktoruhr-Primzahlen.
• Davon liegen 2440 in der Werktags--Öffnungszeit 9:00--17:00 und 2407 in der Wochenend--Öffnungszeit 10:00--18:00.
• Pro Minute sind etwa fünf Primzahlen zu erwarten, wobei die Häufigkeit morgens etwas höher ist als abends.
• Maximal sind es neun Primzahlen in einer Minute (also von hh:mm:00 bis hh:mm:59). Das kommt zehnmal vor, nämlich um 9:00, 10:05, 11:09, 11:31, 11:53, 12:13, 12:20, 13:06, 14:04 und 15:28.
• Zwischen 11:52:49 und 11:53:43 liegen 11 Primzahlen innerhalb von 54 Sekunden.
• Mehr als eine Minute auf die nächste Primzahl warten muss man ab 10:12:21 (62 Sek.), 10:27:01 (70 Sek.), 12:17:27 (76 Sek.) und 14:29:49 (64 Sek.).
• Unter den Faktoruhr-Primzahlen sind 859 Primzahlzwillinge.
• Zwischen 9:00 und 18:00 Uhr sind es 278 Zwillinge,
• davon liegen 255 in der Öffnungszeit 9:00--17:00 und 242 in der Öffnungszeit 10:00--18:00.
• Etwa alle zwei Minuten ist ein Primzahlzwilling zu erwarten, wobei die Häufigkeit morgens etwas höher ist als abends.
• Besonders häufig sind Primzahlzwillinge gegen 9:40, 12:20 und 15:20
• Besonders lang auf einen Primzahlzwilling warten muss man ab 10:55:29 (7:52), 12:27:43 (8:08), 15:02:23 (7:24), 16:34:11 (7:36) und 17:49:31 (7:00).
• Es gibt kurioserweise sogar einen "Faktoruhr-Primzahldrilling": 11:52:59, 11:53:01, 11:53:03.