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Galtonbrett

Nadine Albrecht

Das Galtonbrett, benannt nach dem britischen Naturforscher und Schriftsteller Sir Francis Galton (1822-1911), dient der Veranschaulichung der Binomialverteilung. Auf einem Brett sind dabei Hindernisse (z.B. Nägel) befestigt, die als gleichmäßige Dreiecke angeordnet werden. Am unteren Ende des Brettes befinden sich mehrere Fächer, welche die Kugeln auffangen. Lässt man nun eine Kugel senkrecht von oben durch den "Hindernisparcour" fallen, so entscheidet sich an jedem Hindernis zufällig, ob die Kugel nach rechts oder nach links weiter nach unten fällt. Ist das Galtonbrett perfekt symmetrisch konstruiert, so ist die Wahrscheinlichkeit p an einem Hindernis nach links abzuprallen ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit q nach rechts abzuprallen, also $ p=q=\nicefrac{1}{2}$. Durch leichtes Schiefstellen des Brettes oder unsymmetrisches Anbringen der Hindernisse kann natürlich jeweils eine Seite bevorzugt werden, so dass sich die Wahrscheinlichkeiten unterscheiden. Es gilt jedoch immer $ p=1-q$ und damit bestimmt bereits p die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses q.

Jedes Aufprallen der Kugel an einem Hindernis ist ein sogenannter Bernoulli-Versuch (benannt nach Jakob Bernoulli, 1655-1705). Dieser ist ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen (X=0 und X=1); in unserem Fall das Ereignis "Kugel fällt nach links" (z.B. X=1) und das dazu komplementäre Ereignis "Kugel fällt nach rechts" (dementsprechend X=0). Im symmetrischen Fall sind die Wahrscheinlichkeiten $ p(x=1)=p=\nicefrac{1}{2}$ und $ p(x=0)=q=\nicefrac{1}{2}$ (siehe Abbildung 1).

Abbildung 1

Trifft nun in der zweiten Ebene des Galtonbretts die Kugel erneut auf ein Hindernis, so wird abermals ein Bernoulli-Versuch durchgeführt, bei dem der Zufall ebenso mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit von $ p(x=1)=p=\nicefrac{1}{2}$ entscheidet, ob die Kugel nach links oder rechts fällt. Je nach dem, wie viele Ebenen k solch ein Galtonbrett aufweist, erfolgt bei einem Wurf einer Kugel ein k-stufiges Bernoulli Experiment. Die Zufallsentscheidung in der k-ten Stufe für eine der beiden Richtungen passiert dabei völlig unabhängig davon, welches Ereignis in der (k-1)-ten Stufe eingetreten ist oder in den Stufen davor. Dieser Umstand wird als Stochastische Unabhängigkeit bezeichnet. Stochastisch unabhängige Ereignisse definieren sich durch die Eigenschaft, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten mehrerer Ereignisse durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt. Dies heißt beispielsweise für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl in der ersten als auch in der zweiten Stufe die Kugel nach links fällt, also ($ x_1=1$) und ($ x_2=1$) eintreten:

$\displaystyle p\left[(x_1=1) \mbox{ und } (x_2=1)\right]=p(x_1=1)\cdot p(x_2=1)=p\cdot p = (\nicefrac{1}{2})^2=\nicefrac{1}{4}\,. $

Betrachtet man das zweistufige Galtonbrett in der Abbildung 2, so gibt es zwei Wege, die in das mittlere Fach führen, $ (x_1=1$ und $ x_2=0)$ oder $ (x_1=0$ und $ x_2=1)$ Hierbei addieren sich beide Wahrscheinlichkeiten und die Kugel landet in etwa der Hälfte der Fälle in der Mitte. Man beachte, dass dabei jeder mögliche Weg, den die Kugel nehmen kann gleich wahrscheinlich ist. Nur führen zu einigen Fächern mehr Wege als in andere. Die Wahrscheinlichkeit dort zu landen ist daher größer. Dementsprechend ergeben die einzelnen Wahrscheinlichkeiten in der Summe immer 1, denn mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 landet die Kugel in irgendeinem der Fächer.

Abbildung 2

Dieser Versuch lässt sich für beliebe Stufen fortführen, wobei man leicht feststellt, dass für ein k-stufiges Galtonbrett immer k+1 Fächer zum Auffangen der Kugeln benötigt werden. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, mit denen eine Kugel in einem bestimmten Fach landet, nennt man zusammenfassend die Verteilung. In unserem Fall handelt es sich speziell um die Binomialverteilung. Sie wird durch die k Stufen und die Wahrscheinlichkeit p bestimmt. In den Fächern des Galtonbretts in Abbildung 3 ist also eine Binomialverteilung zu den Parametern k=4 und $ p=\nicefrac{1}{2}$ abgebildet.

Diese Wahrscheinlichkeiten sind jedoch nur theoretische Größen. Führt man das Experiment bei einem Galtonbrett z.B. mit 100 Kugeln durch, werden wohl die relativen Häufigkeiten (Anteil der Kugeln in den einzelnen Fächern an der Gesamtzahl) von denen durch die Binomialverteilung vorhergesagten Anteile abweichen. Erst ein Satz aus der Statistik, genannt das "Gesetz der großen Zahlen", stellt sicher, dass die relativen Häufigkeiten eines solchen zufälligen Experiments sich mit steigender Anzahl von Versuchen "so gut wie immer" den Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung annähern. Im mathematischen Sprachgebrauch spricht man dann von fast sicherer Konvergenz. Daher meint man mit der Aussage "die Kugel fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von $ \nicefrac{3}{8}$ in das mittlere Fach", dass die relative Häufigkeit dieses Ereignisses

$\displaystyle\frac{m_n}{n}=\frac{anzahl\;(kugel \, landet\; in\; fach\; 2)} {anzahl\; der\; versuche}$

mit wachsendem n gegen $\nicefrac{3}{8}$ konvergiert.

Abbildung 3

Um die Binomialverteilung auch für eine große Anzahl von Stufen k zu ermitteln sind wir nicht gezwungen die Zeichnung ins Unermessliche fortzusetzen. Schaut man sich nämlich die Zähler in Abbildung 3 an, so stellt man fest, dass diese Zahlen nicht anders als die Zahlen in einem Pascal'schen Dreieck ermittelt werden. Und dieses ist nichts anderes als eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten $ \binom{k}{l}$ (sprich: k über l). Dabei bezeichnet l die Stellen der einzelnen Fächer, die in Abbildung 3 von 4 bis 0 durchnummeriert wurden. 4 für viermal muss die Kugel nach links abprallen um im Fach ganz links zu gelangen (also $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4=4$), 3 für dreimal nach links und einmal nach rechts, egal in welcher Reihenfolge (also $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4=3$), u.s.w. Die Nenner aus Abbildung 3 sind die vierte Potenz der Zahl 2 und resultieren aus dem Wert $ p=\nicefrac{1}{2}$.

Die allgemeine Formel für die Bestimmung der k+1 Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für $ l=0,...,k$ (Fächer) lautet:

$\displaystyle b(l\vert p,k)=\binom{k}{l} p^l (1-p)^{k-l} \,.$

Binomialverteilungen beschreiben ganz allgemein den wahrscheinlichen Ausgang von Folgen gleichartiger und unabhängiger Versuche, die jeweils nur zwei mögliche Ereignisse liefern. So könnte man die Ereignisse "links oder rechts" in "Kopf oder Zahl" umwandeln und unser Versuch wäre nicht ein k-stufiges Galtonbrett, sondern ein k-maliger Wurf mit einer Münze. Auch hier sieht man leicht ein, dass $ p=\nicefrac{1}{2}$ gilt. In einigen Sprachen wird das Experiment daher wohl auch Quincunx, als Bezeichnung für eine römische Münze, genannt. Einen anderen Wert für p erhalten wir, wenn wir z.B beim k-maligen Würfelwurf die Ereignisse "es fällt eine 6" oder "es fällt keine 6" betrachten. Dafür beträgt p bekanntermaßen $ \nicefrac{1}{6}$. Der Phantasie beim Ausdenken solcher Experimente sind dabei kaum Grenzen gesetzt.