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Sektion 11
Dienstag, 19.09.2000, 15.00–15.20 Uhr, POT 351

Verallgemeinerte Iteration von Polynomen

Rainer Brück, Justus-Liebig-Universität Gießen

Für eine Folge (fn) von Polynomen vom Grad dn > 2 betrachten wir die Folge (F n) der Iterierten F n := fn o . . . o f1. Die Fatou-Menge F von (F n) ist definiert als die Menge aller z  (- C derart, daß (F n) in einer Umgebung von z normal (im Sinne von Montel) ist, während das Komplement C \ F als Julia-Menge J bezeichnet wird. Ohne jegliche weitere Voraussetzung an (fn) kann es vorkommen, dass J endlich ist oder innere Punkte besitzt, obwohl J /=C. Unter geeigneten Wachstumsbeschränkungen an die Grade und Koeffizienten von (fn) bleiben jedoch viele Ergebnisse der Fatou-Julia-Theorie eines festen Polynoms gültig, erfordern allerdings häufig neue Beweismethoden.

Es existiert dann eine Komponente A( oo ) von F, die den Punkt  oo enthält und in der F n -->  oo (n -->  oo ) lokal gleichmäßig gilt. Der Rand von A( oo ) ist die Julia-Menge, und diese enthält daher keine inneren Punkte. Weiterhin existiert die Greensche Funktion von A( oo ) mit Pol an  oo . Hieraus ergibt sich die Perfektheit von J , und es kann eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben werden, wann J zusammenhängend ist. Außerdem wird gezeigt, dass die Hausdorff-Dimension von J stets positiv ist.