*Wissenschaftliches Programm*   *Liste der Vortragenden*

Sektion 10
Montag, 18.09.2000, 15.30–15.50 Uhr, PHY C 213

Die Funktionalgleichung der getwisteten Spinorzetafunktion

Michael Kuß, Universität Heidelberg, Mathematisches Institut

Sei F eine Siegelsche Spitzenform vom Gewicht k bezüglich G2 := Sp2(Z). Die Spinorzetafunktion von F ist definiert durch

          prod 
Z (s) :=    Z   (p-s)-1,
 F            F,p
          p
(7)
wobei
ZF,p(X) :=(1 - a0,pX)(1 -  a0,pa1,pX)(1 -  a0,pa2,pX)(1 - a0,pa1,pa2,pX)
                               2        2    2k-4   2
         =1 - cF (p)X  + (cF(p)  - cF (p ) - p    )X
                - cF (p)p2k- 3X3  + p4k-6X4
das lokale Spinorpolynom zu p, an,p die Satake Parameter von F und cF (p) bzw. cF (p2) die Eigenwerte von F unter den Heckeoperatoren T (p) bzw. T (p2) sind.

Nach Andrianov besitzt

Z*F(s) = (2p)-2sG(s)G(s - k + 2)ZF (s)
eine meromorphe Fortsetzung auf ganz C und genügt der Funktionalgleichung
  *                    k *
Z F(2k - 2 - s) = (- 1)Z F(s).
Für einen Dirichlet Charakter x modulo N (N > 1) definiert man den Twist von ZF mit x durch
             prod 
Z  (s,x) :=    Z   (x(p)p- s)- 1    (Re(s) »  0).
  F              F,p
             p
Unter der Voraussetzung, dass der erste Fourier-Jacobi Koeffizient f1 von F ungleich Null ist, und sowohl x als auch x2 primitiv sind wurde die Funktionalgleichung
Z*F (2k - 2-  s,x) = ( G V~ x-)4Z*F (s,x)
                      N
(8)
für
  *     -s  2s
Z F = p   N  G(s)G(s  - k + 2)ZF (s)
von Kohnen-Krieg-Sengupta mittels Rankin-Selberg-Methode bewiesen, indem ZF (s, x) im Wesentlichen dargestellt wird als Rankin-Dirichletreihe zwischen den Fourier-Jacobi-Koeffizienten von F und denen eines geeigneten Maaßlifts G.

Wir verallgemeinern ihren Beweis derart, dass auf die Voraussetzung x2 primitiv verzeichtet werden kann. Insbesondere gilt die Funktionalgleichung also auch für quadratische Twists von ZF .