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Sektion 7
Freitag, 22.09.2000, 16.00–16.50 Uhr, POT 112

Zufällige dynamische Systeme und partielle stochastische Differentialgleichungen

Björn Schmalfuß, FH Merseburg, FB Angewandte Naturwissenschaften

Die Theorie der zufälligen dynamischen Systeme beschäftigt sich mit der qualitativen Analyse von gewöhnlichen stochastischen und zufälligen Differentialgleichungen beziehungsweise Differenzengleichungen. Eine zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Methoden ist in [1] zu finden.
Es soll über die Anwendung dieser Methoden auf stochastische partielle Differentialgleichungen berichtet werden. Dabei soll das Stabilitätsverhalten der Lösungen im Mittelpunkt stehen, wobei der zentrale Begriff der zufällige Attraktor sein wird. Es werden hinreichende Bedingungen für die Existenz von solchen Attraktoren diskutiert. Eine Modifikation dieser Methoden erlaubt es, die Existenz von exponentiell stabilen Lösungen nachzuweisen.
Ein ungelöstes Problem ist die Flusseigenschaft für stochastische partielle Differentialgleichungen. Aufbauend auf einen Konjugationsansatz kann eine partielle Lösung dieses Problems für stochastische hyperbolische Differentialgleichungen vorgeschlagen werden.
All diese Methoden basieren nicht auf der Markoveigenschaft der Lösung dieser Differentialgleichungen, erlauben aber, spezielle Eigenschaften des Markovoperators dieser Gleichungen abzuleiten.
Abschließend sollen verschiedene Beispiele, wie die stochastische Navier-Stokes-Gleichung, die stochastische Sine-Gordon-Gleichung beziehungsweise Differentialgleichungen aus der Klimatheorie mit zufälligen Randbedingungen diskutiert werden. Literatur L. Arnold. Random Dynamical Systems. Springer 1998.