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Sektion 10
Dienstag, 19.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, PHY C 213

Über die Wertverteilung von Hurwitz-Zetafunktionen in den nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion

Jörn Steuding, Universität Frankfurt a. M.

Wir untersuchen die Wertverteilung von Hurwitz-Zetafunktionen z(s, a) :=  sum n = 0 oo 1____ (n+a)s , 0 < a < 1, in den nichttrivialen Nullstellen r = b + ig der Riemannschen Zetafunktion z(s) := z(s, 1). Mit Hilfe der Methode von Conrey, Ghosh und Gonek zeigen wir für festes 0 < a < 1 und H < T

                     (   (  )                     )
    sum                      -1      oo  sum  exp(---2pian)   H--    (      (           1)     1+e)
         z(r,a) =  -   /\  a   +           n         2p +O   H exp   -C(log T )3  + T 2    ,
T<g <T+H                         n=1
wobei /\ die von Mangoldt-Funktion ist und C eine absolute positive Konstante; eine ähnliche Formel bewies A. FUJII [Zeta zeros, Hurwitz zeta functions and L(1, x), Proc. Japan Acad. 65 (1989), 139-142] unter Annahme der Riemannschen Vermutung! Daraus folgt, dass z(s,a) z(s) genau dann eine ganze Funktion ist, wenn a = 1 2 oder a = 1. Ferner beweisen wir für a/=1 2, 1 und hinreichend große T die Existenz nichttrivialer Nullstellen r = b + ig von z(s) mit
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T < g <  T + T 4,  --<  b < ---+  e    und     z(r,a) /=  0.
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