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Sektion 10
Freitag, 22.09.2000, 15.00–15.20 Uhr, PHY C 213

Ziffernentwicklungen und singuläre Maße

Mario Lamberger, Technische Universität Graz

Beim Studium von b-Entwicklungen in [0, 1] treten unter anderem Maße der Form mb =  sum n = 1 oo dnb-n mit Zufallsvariablen dn  (- {0, ...,  |~ b ~| - 1} auf. Erdös untersuchte solche Maße im Falle von gleichverteilten Ziffern eingehend und zeigte, dass sie für b eine PV-Zahl immer singulär sind. Das nach ihm benannte Erdös-Maß entspricht einer unendlichen Faltung von Bernoulli-Maßen auf den Ziffern {0, 1}. Ein klassicher Satz von Jessen und Wintner besagt, dass solche Maße entweder atomar, absolut stetig oder rein singulär sind. Im Falle der Gleichverteilung auf den Ziffern führte Garcia einen Entropie-Begriff ein, der von Alexander und Zagier für b = ( V~ --
  5 + 1)/2 und allgemeiner von Grabner, Kirschenhofer und Tichy zur Behandlung dieser Maße benutzt wurde. Dabei taucht ein neues singuläres Maß auf, das über den subtraktiven Euklidischen Algorithmus definiert wird und als Verallgemeinerung des singulären Minkowski-Maßes d(x) gesehen werden kann. Wir zeigen, dass dieses Maß zu d(x) singulär ist, indem wir nachweisen, dass ein äquivalentes Maß bez. der Farey-Transformation ergodisch ist und somit nach dem Ergodensatz entweder singulär oder mit d(x) identisch sein muss. Da das Intervall [0,1/2) unterschiedliches Maß hat, ist man fertig.