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Sektion 15
Donnerstag, 21.09.2000, 14.00–14.20 Uhr, WIL C 103

Das Spektrum selbstähnlicher Graphen

Bernhard Krön, TU Graz

Selbstähnliche Graphen können als diskretisierte Form fraktaler Mengen in metrischen Räumen interpretiert werden. Teplyaev und Malozemov studierten eine Klasse von selbstähnlichen Graphen, welche Fraktalen mit zwei essentiellen Fixpunkten (im Sinne von Lindstrøm) entsprechen, sowie einige konkrete selbstähnliche Graphen, u.a. den Sierpinskigraphen. Mit Methoden der spektralen Selbstähnlichkeit von Operatoren auf endlichdimensionalen Teilräumen eines Hilbertraumes konnten sie das Spektrum des Laplace Operators, bzw. der einfachen Irrfahrt berechnen.

Wir führen eine neue, größere Klasse von selbstähnlichen Graphen ein, in die beispielsweise auch der Vicekgraph fällt, und bestimmen eine Funktionalgleichung für jene Greensche Funktion, die die Rückkehr der einfachen Irrfahrt zu einer eindeutig bestimmten Ursprungsecke beschreibt. Die selbstähnliche und symmetrische Struktur des Graphen führt zusammen mit dieser Funktionalgleichung auf Darstellungen der übrigen Greenschen Funktionen. Die Menge der Singularitäten ihrer analytischen Fortsetzungen lässt sich unter gewissen Voraussetzungen mit der Juliamenge einer bestimmten rationalen, wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion bzw. mit dem reziproken Spektrum des Graphen identifizieren.