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Sektion 12
Freitag, 22.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, WIL C 103

Seltsame Phänomene bei ebenen Packungen

Achill Schürmann, Universität Siegen

Das 1998 durch T. HALES gelöste KEPLER-Problem hat die Problematik der Dichte von Gitter- und Nichtgitter-Packungen verdeutlicht. Es wird gezeigt, dass schon in der Ebene unerwartete Phänomene auftreten.

Eine Packung X + K mit einer konvexen Menge K heißt endlich, wenn X = {x1, ..., xn} endlich ist, und Gitterpackung, wenn X Teilmenge eines Gitters ist. Das endliche Packungsproblem besteht darin, zu festem n und Parameter r > 0 Packungen mit maximaler parametrischer Dichte bzw. minimaler Fläche F (conv(X  + rK)) zu finden. Ist r hinreichend groß (z.B. r > 1), so konvergieren die maximalen Dichten für n -->  oo gegen die Dichte d(K) der dichtesten unendlichen ebenen Packung, die, nach einem Resultat von C.A. ROGERS, von dichtesten Gitterpackungen, d. h. in kritischen Gittern angenommen werden. Ergebnisse über endliche Kreispackungen von H. GROEMER (r =  V~ --
  3/2) und G. WEGNER (r = 1) legen nahe, dass die dichtesten endlichen Packungen ebenfalls von Gitterpackungen eines kritischen Gitters angenommen werden.

Es zeigt sich, dass die dichtesten endlichen Gitterpackungen mit Kreisen immer in kritischen Gittern angenommen werden und dass diese für kleine r dichter sind als Nichtgitter-Packungen. Wählt man jedoch r und n hinreichend groß, so findet man Nichtgitter-Packungen mit Kreisen, die dichter sind als alle Gitterpackungen. Dasselbe gilt für alle strikt konvexen Mengen K. Darüberhinaus gibt es sogar konvexe Mengen, für die es, anders als beim Kreis, Folgen von dichtesten endlichen Gitterpackungen bezüglich nichtkritischer Gitter gibt.