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Sektion 12
Freitag, 22.09.2000, 14.30–14.50 Uhr, WIL C 102

Fortsetzung der Coxeter-Benettschen Winkeldarstellung auf den erweiterten hyperbolischen Fall

Johannes Böhm, Friedrich-Schiller-Universität Jena

Im Jahre 1936 legte H. S. M. Coxeter eine Arbeit über die Verallgemeinerung von Napiers Pentagramma Mirificum vor, wozu er Ergebnisse von G. T. Bennett zu Grunde legte. Da Bennett kurz vorher gestorben war, ist diese Note gleichsam in memoriam Bennett erschienen. - Mit der geometrischen sowie algebraischen Interpretation der Pentagramma-Figur hatte sich nach J. Napier vor allem C. F. Gauss 1834 befasst, von dem auch der Name Pentagramma Mirificum stammt. Es geht hierbei um den Zusammenhang zwischen den Größen der Seiten und Winkel eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks und der sich daraus ergebenden geometrischen Darstellung eines ganzen Zyklus von einander zugeordneten rechtwinkligen Dreiecken. Die Ergebnisse können auf höhere Dimensionen übertragen werden, und es wurde auch gezeigt, wie der hyperbolische Fall zu interpretieren ist. Bei der oben erwähnten Idee erscheinen die Winkelgrößen eines elliptischen Orthoschems, das als ein verallgemeinertes rechtwinkliges Dreieck aufgefasst werden kann, jeweils in doppelter Größe. Dabei gelangt Coxeter zu einer außerordentlich übersichtlichen Darstellung für die Größen sämtlicher Elemente eines n-dimensionalen elliptischen Orthoschems mit Hilfe von einfachen Funktionen in Abhängigkeit von den Größen der wesentlichen Keilwinkel des Orthoschems, was auf andere Weise allgemein L. Schläfli bereits 1852 gelungen war. Das Besondere bei Coxeter ist die Einführung von Zweizeigersymbolen, die mit einer Darstellung für die Winkelgrößen in Zusammenhang gebracht werden können, was schließlich auf eine Darstellung der Winkelgrößen durch Vierzeigersymbole hinausläuft. - In dem gegenwärtigen Beitrag soll das Coxeter-Bennettsche Verfahren auf erweiterte hyperbolische Figuren übertragen werden, die in einem zu einem projektiven Raum erweiterten hyperbolischen Raum liegen. Es zeigt sich, dass sich die bekannten Ergebnisse im Wesentlichen übertragen lassen.