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Sektion 13
Donnerstag, 21.09.2000, 16.00–16.50 Uhr, POT 13

Differential-Galoistheorie in positiver Charakteristik

B. Heinrich Matzat, Universität Heidelberg

In diesem Vortrag wird gezeigt, dass man eine Picard-Vessiot-Theorie auch für Körper in positiver Charakteristik entwickeln kann, wenn man die gewöhnliche Differentiation durch die von Hasse und Schmidt eingeführte iterative Differentiation ersetzt.

Wie in Charakteristik Null kann in dieser ”iterativen” Differential-Galoistheorie jede zusammenhängende lineare Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K in positiver Charakteristik als Differential-Galoisgruppe zum Beispiel über K(t) realisiert werden. Dies löst das Umkehrproblem für zusammenhängende Gruppen.

Des weiteren gilt auch ein Analogon zur Vermutung von Abhyankar, d. h., jede zusammenhängende unipotent erzeugte Gruppe ist als Galoisgruppe einer Differentialkörpererweiterung mit nur einer Singularität realisierbar. Letzteres Resultat korrespondiert in Charakteristik Null zum Satz von Ramis, nach dem jede multiplikativ erzeugte zusammenhängende lineare Gruppe mit nur einer Singularität als Differential-Galoisgruppe über C(t) realisiert werden kann und erklärt damit einige der Ramis-Raynaud-Analogien.