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Sektion 11
Dienstag, 19.09.2000, 16.00–16.20 Uhr, POT 351

Ein Nachtrag zur Kombinatorik der Mandelbrotmenge

Karsten Keller, Universität Greifswald, Institut für Mathematik und Informatik

Seit Anfang der 80er Jahre wird die Struktur der Mandelbrotmenge, bestehend aus allen komplexen Zahlen c, deren Orbit unter der Iteration der holomorphen Abbildung z'-->z2 + c beschränkt bleibt, intensiv diskutiert. Während mit der Mandelbrotmenge immer noch hochkarätige ungelöste geometrische Fragen verbunden sind, gilt ihre kombinatorische Struktur als weitgehend verstanden. Allerdings gibt es auch auf der kombinatorischen Seite noch Unklarheiten. Diese sollen hier partiell angesprochen werden.

Im Zentrum des Vortrags steht das System der hyperbolischen Komponenten der Mandelbrotmenge. Das sind die Zusammenhangskomponenten der (offenen) Menge aller Parameter c, für die die Abbildung z'-->z2 + c einen anziehenden periodischen Orbit besitzt. Ein solcher Orbit ist eindeutig bestimmt und seine Periode ist für alle in einer hyperbolischen Komponente liegenden Parameter c gleich. Deshalb spricht man von der Periode einer hyperbolischen Komponente. Das System der hyperbolischen Komponenten ist durch seine Lage in der Mandelbrotmenge auf eine natürliche Weise halbgeordnet.

Wir diskutieren die Frage, ob bestimmte Perioden ‘hinter’ einer vorgegebenen hyperbolischen Komponente auftreten können. Dabei interessieren wir uns insbesondere für partielle Symmetrien, die eng mit den Bifurkationen der Mandelbrotmenge entlang des Randes einer hyperbolischen Menge verbunden sind. Solche Symmetrien wurden erstmals von Lau und Scheicher (1994) beschrieben und unlängst auch von Kauko (1999) studiert.