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Sektion 2
Dienstag, 19.09.2000, 17.30–17.50 Uhr, POT 51

Resonanzen für die Wellengleichung mit periodischen Koeffizienten

Johannes Giannoulis, Universität Stuttgart

Wir betrachten das zeitasymptotische Verhalten linearer akustischer Wellen im n-dimensionalen Raum, n > 2, ausgefüllt durch ein Medium, welches periodisch in der einen und konstant in den restlichen Richtungen ist. Wir nehmen an, dass das Wellenfeld durch eine zeitharmonische Kraftdichte der Frequenz w mit kompaktem Träger erzeugt wird. Es liegt also das folgende Anfangswertproblem vor:

        [     (     )      ]
      2         1                - iwt      n
utt- c   r \~/  . -- \~/ u  -  qu  = fe      in R  × (0, oo ),
               r
u(.,0) = u0,  ut(.,0) = u1,
mit w > 0, u0, u1, f  (- C0 oo (Rn), c, r, q  (- C oo (Rn) und c, r > 0, q > 0; die Koeffizienten c, r, q seien p-periodisch bzgl. x1 (p > 0) und konstant bzgl. x2, ..., xn.

Der Ortsoperator kann zu einem selbstadjungierten Operator An erweitert werden, und dementsprechend die eindeutige Lösung u des Anfangswertproblems als eine Summe von Spektralintegralen bezüglich der Spektralschar {P c} von An dargestellt werden. Zur Untersuchung der Zeitasymptotik von u ist ein genaues Studium von {P c} erforderlich. Dieses ergibt, dass die Spektralschar wesentlich von den Spektraleigenschaften des durch

            [  (    )'      ]
A  U := - c2 r   1U '  - qU     für U  (-  D(A ) :=  H  (R)
  1              r                          1       2
definierten Operators A1 abhängt. Dessen Spektrum s(A1) ist eine endliche oder abzählbare Vereinigung disjunkter abgeschlossener Intervalle, der sogenannten Spektralbänder.

Es stellt sich heraus, dass für n = 2 und w2  (- @s(A 1) die Lösung u Resonanzen der Ordnung ln t aufweist, während für n = 2 and w2/ (- @s(A 1) oder für n > 3 und beliebiges w > 0 das Prinzip der Grenzamplitude gilt.