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Sektion 2
Donnerstag, 21.09.2000, 16.30–16.50 Uhr, POT 6

Elektro-Magnetostatik in gewichteten L2–Räumen von Außengebieten des RN

Dirk Pauly, Universität-GH Essen

Die Elektro-Magnetostatik befaßt sich mit der Suche nach Lösungsfeldern (E, H) (elektrisches und magnetisches Feld), die den statischen Maxwellschen Gleichungen in einem Gebiet _O_ < R3,

 rot E =  G            div eE = g             n  /\  E = 0   an @_O_
rot H =  F            div mH  = f            n .mH  = 0   an @_O_    ,
genügen. Eine Verallgemeinerung zu Differentialformen beliebigen Ranges wurde von Hermann Weyl im Jahre 1952 vorgeschlagen. Die Gleichungen übersetzen sich dann mit der q–Form E und der (q + 1)–Form H (d: äußere Ableitung, d := ± * d*: Co-Ableitung) wie folgt:
dE =  G               deE  = g                E  = 0   an @_O_

dH =  F               dmH  = f               mH  = 0   an @_O_
Für Außengebiete _O_ < RN (N > 3) wird eine Lösungstheorie für Daten, die in einem mit (1 + r)s gewichteten L2(_O_)–Raum liegen, entwickelt (hierbei ist s > 1 - N2- und s - N2- (- /N0). Die Lösungen sind dann bis auf eine endliche Linearkombination spezieller homogener harmonischer Felder Elemente eines mit (1 + r)s-1 gewichteten L2(_O_)–Raumes. Die Matrizen e und m müssen asymptotische Bedingungen bei  oo erfüllen.
Bis auf den Sonderfall s = 1, der mit dem Satz von Lax-Milgram behandelt werden kann, ist in der Literatur nur der Fall s = 0 untersucht, wobei allerdings isotrope und homogene Medien nahe  oo vorausgesetzt werden. In beiden bekannten Fällen treten die speziellen harmonischen Felder nicht auf.