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Sektion 2
Montag, 18.09.2000, 15.30–15.50 Uhr, POT 6

Ein Mehrfeldproblem der Kontinuumsmechanik

Lothar Jentsch, TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik

Betrachtet wird die Wechselwirkung zwischen dem dreidimensionalen Verschiebungsfeld eines inhomogenen anisotropen elastischen Körpers in _O_ < R3 und dem skalaren Feld für den Druck in einer umgebenden Flüssigkeit mit Viskosität Null in R3 \ _O_ unter dem Einfluss einer zeitharmonischen akustischen Welle der gegebenen Freqenz w. In [2] wurde ein entsprechendes Problem mit einem in _O_ vierdimensional gekoppelten thermoelastischen anisotropen Feld mit Potentialmethoden gelöst. Dabei benötigt man die im anisotropen Fall noch nicht allgemein formulierten Ausstrahlungsbedingungen für das thermoelastische Feld.
In [1] können wir uns durch Kopplung der Randintegralmethode für das äußere Feld mit der Variationsmethode für das Feld auf _O_ von den unnatürlichen elastischen Ausstrahlungsbedingungen befreien. Dazu ermitteln wir erstens die Steklov-Poincaré-Beziehungen zwischen den Dirichlet- und Neumanndaten auf S = @_O_ für das äußere skalare Feld. Zweitens leiten wir mit den Greenschen Formeln unter Berücksichtigung der Transmissionsbedingungen auf S und der Steklov-Poincaré-Formeln die äquivalente schwache Formulierung für die auf _O_ unbekannte Verschiebung und die Dichte auf S des das äußere Feld darstellenden Potentials her. Drittens zeigen wir, dass für die entsprechende Sesquilinearform eine Gårdingsche Ungleichung gilt. Mit Hilfe des Satzes von Lax-Milgram folgt dann die Existenz einer eindeutigen Lösung, wenn w nicht (Jones-)Eigenfrequenz des homogenen Problems ist. Im Eigenwertfall werden notwendige und hinreichende Lösbarkeitsbedingungen hergeleitet, die bei dem betrachteten Problem immer erfüllt sind.
Dies ist eine gemeinsame Arbeit mit D. Natroshvili, Tbilisi.

[1]
L. Jentsch, D. Natroshvili, Non-local Approach in Mathematical Problems of Fluid-Structure Interaction. Math. Mech. Appl. Sci., 22. 13–42 (1999).
[2]
L. Jentsch, D. Natroshvili: Interaction between Thermoelastic and Scalar Oscillation Fields. Integr. Equ. Oper. Theory., 28. 261–288 (1997).