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Sektion 10
Donnerstag, 21.09.2000, 14.00–14.50 Uhr, PHY C 213

Kurven über endlichen Körpern

Henning Stichtenoth, Universität Essen

Es sei C eine algebraische Kurve (irreduzibel, nicht-singulär etc.), die über einem endlichen Körper K definiert ist. Die Anzahl N(C) der K-rationalen Punkte auf C ist nach Hasse-Weil nach oben beschränkt durch N(C) < q + 1 + 2g .  V~ --
  q, wobei q = #K und g = g(C) das Geschlecht von C bezeichnet. Ist g(C) sehr groß, so lässt sich dies erheblich verschärfen zu N(C) < g(C) . ( V~ q- - 1 + o(1)). Falls q ein Quadrat ist, so gibt es in der Tat Familien (Ci)i>1 von Kurven über K mit g(Ci) -->  oo und

 lim  N (Ci)/g(Ci) =  V~ q-- 1.
i-->o o
Solche Familien kennt man seit ca. 1980 (Ihara und Tsfasman-Vladut-Zink), sie ergeben sich aus verschiedenen Typen von Modulkurven und galten lange Zeit als “nicht-explizit”. Gerade ihre konkrete Beschreibung ist aber von großer Bedeutung im Hinblick auf Anwendungen, etwa in der Codierungstheorie. In diesem Vortrag werden einige durch sehr einfache Gleichungen beschreibbare Familien von Kurven vorgestellt, welche den o.a. Grenzwert erreichen.