Unendlichdimensionale Verallgemeinerungen der Bárány-Varianten der Konvexitätssätze von Helly und Carathéodory

Ehrhard Behrends, FU Berlin, I. Mathematisches Institut

Das klassische Theorem von Carathéodory besagt, dass zur Erzeugung von Elementen konvexer Hüllen im d-dimensionalen Raum jeweils höchstens d + 1 Punkte zur Darstellung ausreichen. Das wurde von Bárány verallgemeinert: Liegt ein Punkt in d + 1 konvexen Hüllen, etwa in den konvexen Hüllen von D₁, ..., D_d+1, so kann er schon konvex durch geeignete x₁, ..., x_n mit x_i D_i dargestellt werden. Zu Beginn stellen wir kurz einen eigenen Zugang zu Bárány’s Theorem (und einer Verallgemeinerung von Hellys Theorem) vor. Im zweiten Teil wird studiert, wie die angemessene Verallgemeinerung auf unendlich-dimensionale Räume X aussehen könnte. Die “richtige” Fassung des Helly-Bárány-Theorems für beliebige X lautet so: Sind C_n, n = 1, ... Familien abgeschlossener konvexer Teilmengen einer beschränkten Teilmenge eines Banachraums X, so dass für ein geeignetes positives ₀ alle _CCn(C) leer sind für < ₀, so gibt es C_n C_n mit _n(C_n) = Ø für alle < ₀; dabei bezeichnet (C) die Menge aller x, für die der Abstand zu C höchstens ist.