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Sektion 13
Freitag, 22.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, POT 13

Brauer-Severi-Varietäten und Normrelationen

Frank Henningsen, TU Braunschweig, Abt. Angew. Algebra

Sei k ein Körper. Jeder endlichdimensionalen, zentraleinfachen k-Algebra A lässt sich eine Brauer-Severi-Varietät V (A) zuordnen, die das Zerfallsverhalten der Algebra spiegelt. Im einfachsten Fall korrespondieren Quaternionenalgebren A = (a, b) und projektive Kegelschnitte V : ax2 + by2 = z2 mit a, b aus k. Ist K/k eine Körpererweiterung, so zerfällt A über K genau dann, wenn V einen K-rationalen Punkt hat. Dieser Zusammenhang gilt allgemein, doch ist – außer im oben erwähnten Beispiel – keine überschaubare Beschreibung von Brauer-Severi-Varietäten durch explizite Gleichungen bekannt.

Eine Brauer-Severi-Varietät lässt sich als Durchschnitt einer Grassmann-Varietät und einer sogenannten Linksidealvarietät schreiben und letztere als Durchschnitt gewisser Eigenräume. Diese lassen sich für verschränkte Gruppenalgebren A = (G, s) konkret bestimmen und führen zu sogenannten Ersetzungsrelationen. Diese ermöglichen bei der Beschreibung der Brauer-Severi-Varietät V (A) eine Reduzierung der Dimension des Einbettungsraumes von V (A) (in Abhängigkeit von der Untergruppenstruktur von G) und der Zahl der V (A) definierenden Gleichungen. Im Fall einer Symbolalgebra vom Grad 3 reduziert sich die Dimension des Einbettungsraumes von 83 auf 11 und die Zahl der Gleichungen von ca. 18000 auf 138.

Mit Hilfe dieser Ergebnisse und der Verallgemeinerung des Begriffs Plücker-Relation lässt sich ein Satz beweisen, der Brauer-Severi-Varietäten von zentraleinfachen Algebren birational beschreibt: Die Kegelschnittgleichung ax2 + by2 = z2 lässt sich als Normrelation N(z, x) = by2 mit Norm N(z, x) = z2 - ax2 eines von a abhängigen quadratischen Teilkörpers von A schreiben. Dies gilt allgemeiner: Brauer-Severi-Varietäten von zentraleinfachen Algebren A sind birational äquivalent zu Normvarietäten von Teilkörpern von A.