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Sektion 8
Montag, 18.09.2000, 15.00–15.20 Uhr, POT 106

Zufällige Zerlegung von Stichproben und ihre Anwendung in der Versicherungsmathematik

Klaus Th. Heß, TU Dresden, Inst. f. Math. Stochastik

Sei N eine Zufallsvariable mit Werten in den natürlichen Zahlen und {Xn}n (- N eine Folge von Zufallsvariablen. Das Paar {N, {Xn}n (- N} heißt kollektives Modell, wenn {Xn}n (- N i.i.d. und unabhängig von N ist. Sei {N, {Xn}n (- N} das kollektive Modell des Erstversicheres. Dabei wird Xn als zufällige Schadenhöhe des n–ten Schadens und N als zufällige Anzahl der Schäden interpretiert. Für den Erstversicherer ist die Verteilung des Gesamtschadens

      sum N
S :=     Xn
     n=1
von besonderem Interesse. In der Excess–of–Loss Rückversicherung übernimmt der Rückversicherer pro Schaden den Anteil, der eine festgesetzte Priorität c > 0 übersteigt. Als Gesamtschaden für den Rückversicherer ergibt sich folglich
 sum N
   (Xn -  c)+ .
n=1
Diese Formel ist aber für den Rückversicherer nicht praktikabel, da er nur die Schäden beobachten kann, die die Priorität übersteigen. Wir bezeichnen mit {Xn'} n (- N die Folge der Schäden, die die Priorität übersteigen und mit N' die Anzahl dieser Schäden bis zum N–ten Schaden. Weiterhin definieren wir
       sum N'
S':=      X'n .
      n=1
Dann ist {N', {X n'} n (- N} ein kollektives Modell, dessen Zufallsvariable für den Rückversicherer beobachtbar sind, und es gilt
      sum N
S'=      (Xn - c)+ .
     n=1
Unter parametrischen Annahmen für das kollektive Modell des Erstversicherers kann der Rückversicherer damit beispielsweise diese Parameter schätzen und somit die Verteilung seines Gesamtschadens S' in Abhängigkeit von der Priorität bestimmen.