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Sektion 3
Freitag, 22.09.2000, 14.30–15.20 Uhr, WIL A 120

Reelle analytische Torsionsformen

Sebastian Goette, Universität Tübingen

Die Reidemeister-Torsion ist eine topologische Invariante von azyklischen Komplexen, die es unter anderem ermöglicht, gewisse homotopieäquivalente, nicht homöomorphe Linsenräume voneinander zu unterscheiden. Ray und Singer konstruierten analog dazu eine analytische Torsion für kompakte Mannigfaltigkeiten mit azyklischen flachen Vektorbündeln, die nach Resultaten von Cheeger und Müller mit der Reidemeister-Torsion übereinstimmt. Von Bismut und Lott wurde die analytische Torsion zu einer Invariante von Familien M --> B mit kompakter Faser X und flachen Vektorbündeln F --> M verallgemeinert. Mit Hilfe der Torsionsformen lassen sich zum Beispiel nicht-triviale Kohomologieklassen der Diffeomorphismengruppen von Sphären konstruieren. Igusa, Klein und andere konstruierten eine “topologische” Verallgemeinerung der Reidemeister-Torsion auf Familien mittels Borel-Regulatoren.

In diesem Vortrag wollen wir einige neuere Resultate zu den Bismut-Lott-Torsionsformen vorstellen. Insbesondere definieren wir äquivariante Torsionsformen und studieren das Verhalten der höheren Torsionsformen unter Deformationen des flachen Zusammenhangs auf F .

In gewissen Situationen können wir die Torsionsformen explizit bestimmen. Falls eine Funktion f : M --> R existiert, deren Einschränkung auf jede Faser eine Morse-Smale-Funktion ist, definieren wir eine “kombinatorische Torsionsform” mit Hilfe des faserweisen Thom-Smale-Komplexes. Die Differenz der analytischen und der kombinatorischen Torsionsform lässt sich explizit beschreiben, hierbei tritt unter anderem ein additives Geschlecht J (verwandt mit dem R-Geschlecht aus der Arakelov-Geometrie) des vertikalen Tangentialbündels an den faserweisen kritischen Punkten auf. Als Anwendung unseres Resultats zeigen wir, dass die höheren Torsionsformen verschwinden, falls sowohl eine faserweise Morse-Smale-Funktion als auch ein flaches, faserweise azyklisches Bündel F --> M mit einer flachen Metrik existiert. Auf der anderen Seite folgt aus unseren Rechnungen eine explizite Formel für die äquivarianten Torsionsformen von (Einheits-) Sphärenbündeln in Vektorbündeln.

(gemeinsame Arbeit mit J.-M. Bismut, Orsay)