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Sektion 6
Freitag, 22.09.2000, 16.00–16.20 Uhr, WIL C 129

Eine Spektralmethode zur Verfolgung und Analyse periodischer und quasiperiodischer Lösungen

Frank Schilder, TU Ilmenau, Inst. für Mathematik

Periodische bzw. quasiperiodische Lösungen periodisch erregter Differentialgleichungen können für eingeschränkte Problemklassen mit Hilfe (1) der Mittelungsmethode von KBM, (2) den Methoden von Van der Pol und Hayashi oder (3) der harmonischen Balance–Methode auf eine Gleichgewichtslage bzw. eine periodische Lösung einer autonomen Differentialgleichung reduziert werden. Eine wesentliche Eigenschaft dieser Methoden ist die Übertragung der Stabilitätseigenschaften der periodischen bzw. quasiperiodischen Lösung auf die transformierte Lösung. Problematisch dagegen sind die Einschränkung der Problemklasse, die oft heuristische Vorgehensweise und die teilweise fehlende mathematische Begründung.

Unter Verwendung eines Fourier–Ansatzes mit variablen Koeffizienten kann als Verallgemeinerung der oben genannten Methoden eine („Black–Box“–) Spektralmethode hergeleitet werden. Insbesondere kann diese Methode mit einem Computeralgebrasystem algorithmisiert und auf eine allgemeinere Klasse von Problemen, z.B. auch autonome Differentialgleichungen, angewendet werden.

Es zeigt sich, dass die Spektralmethode für die Verfolgung und Analyse periodischer und quasiperiodischer Lösungen von periodisch erregten Differentialgleichungen, die bei der Modellierung elektrotechnischer Schaltungen entstehen, ein allgemein anwendbares Verfahren darstellt.

Der Vortrag beruht auf einer gemeinsamen Arbeit mit Werner Vogt.