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Sektion 12
Dienstag, 19.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, WIL A 124

Elementargeometrische „Nebenprodukte“ approximativer Themen

Ludwig Stammler, Engelsdorf

  1. Definition einer Distanz d(g, h) zweier Geraden g, h bezüglich des Rechtecks R mit den Ecken (±A, ±B) :
    Mit cX(g) als Fußpunkt des Lotes von X auf g sei
                -----i ntegral -------------------
             1--                   2
d(g,h) :=  V~  |R |.     |cX (g),cX (h)|dw .
                 X (- R

    Hierbei wird

               V~ ------------------------2-------
d(g,h) :=    |cM (g),cM (h)|2 + C .sin  |/_g, h|

    mit M = (0, 0) und konstantem C.

    Es folgen zwei „Standardaufgaben“-Sätze:

    1.1 Die Menge aller Geraden h mit d(g, h) = r (g geg. Gerade, r > 0 geg. reelle Zahl) ist die Tangentenmenge eines Kegelschnitts.
    1.2 Die Menge aller Geraden h mit d(g1, h) = d(g2, h) (g1, g2 geg. Geraden) ist die Tangentenmenge einer Parabel. Aus g1, g2 und M kann man die Leitlinie dieser Parabel konstruieren.
    Beim Konstruieren dieser Leitlinien zur Aufgabe d(g1, h) = d(g2, h) = d(g3, h) zeigt sich als „Nebenprodukt“  der

    Satz: Sei ABC ein Dreieck, M ein Punkt. Für jede Seite des Dreiecks konstruiere man die Verbindungsgerade der Fußpunkte der Lote von M auf die Seite und auf die zugehörige Höhe. Diese 3 Geraden sind kopunktal.

  2. Definition einer Distanz d(D, K) zweier Ovale (Variante 1):
    Man setze d(D, K) := |D \ K|.

    Definition einer Distanz d(D, K) zweier Ovale (Variante 2):
    Für jeden Punkt X der Ebene E setze man

             {
            1|D|- falls X   (-  D
@(X)  :=                      ;
            0   sonst

    analog werde auch k zu K definiert. Dann sei

                 integral 
d(D; K) :=     (@(X) -  k(X))2dw  .

           X (- E

    Bei beiden Definitionen ergibt sich der Satz: Im Fall D = Dreieck, K = Kreis ist für

    d(D, K)    -->K   Min  !

    eine notwendige Bedingung: Der Kreis muss ein Proportionalschnittkreis sein, d. h.: Die Längen der 3 Sehnen, die der Kreis aus den Trägergeraden der 3 Dreiecksseiten ausschneidet, müssen zu den Längen dieser Seiten proportional sein.

    Die Betrachtung solcher Proportionalschnittkreise ergab für den Proportionalitätsfaktor 1 als „Nebenprodukt“  den

    Satz: Zu jedem Dreieck gibt es außer dem Umkreis c genau drei 1-Schnittkreise. Ihre Mittelpunkte bilden ein gleichseitiges Dreieck, das c als Inkreis besitzt und positiv-ähnlich zum MORLEY-Dreick gelegen ist.