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Sektion 7
Donnerstag, 21.09.2000, 14.45–15.30 Uhr, POT 112

Phasenübergang der Grundzustandsenergie eines zufälligen Schrödingeroperators zu einem skalierten Poissonpotential

Franz Merkl, Eurandom (Eindhoven, Niederlande)

Wir betrachten die Gundzustandsenergie cb,t,w des zufälligen Schrödingeroperators

        1         b      sum 
Hw  = - -D  + ---------    W (.-  x)
        2     (logt)2/dx (- w
(4)
über einem Quader ] - t, t[d mit Dirichlet-Randbedingungen. Hierbei bezeichnet w die zufällige Punktkonfiguration eines d-dimensionalen Poisson-Punktprozesses der Intensität 1, und W > 0 sei eine beschränkte, messbare “Einteilchen”-Potentialfunktion mit kompaktem Träger und ||W || 1 = 1. Die Wahl (log t)-2/d ist die kritische Skala; sie wird durch die typische Größe der maximalen leeren Kugeln der Poissonwolke in dem Quader bestimmt. Die skalierte Grundzustandsenergie (log t)2/dc b,t,w konvergiert im Limes t -->  oo mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen eine deterministische Größe I(b). I(b) wird durch ein (deterministisches) Variationsprinzip beschrieben. Es stellt sich heraus, dass in hohen Dimensionen (d > 4) ein Phasenübergang existiert: Es gibt einen kritischen Wert bc(d) > 0 mit
I(b)  =  b   für 0 < b < bc(d),                          (5)
I(b)  <  b   für b > b (d).                              (6)
                      c
Für d < 4 findet dieser Phasenübergang nur bei bc(d) = 0 statt. Im Limes b -->  oo beobachtet man asymptotisch ein ähnliches Bild, wie es Sznitman [2] für unskalierte Potentiale erhielt.

Die im Vortrag dargestellten Resultate entstanden in gemeinsamer Arbeit mit Mario Wüthrich, Nijmegen (Niederlande).

Literatur:

[1]
F. Merkl and M. V. Wüthrich, Phase transition of the principal Dirichlet eigenvalue in a scaled Poissonian potential. Preprint, Eurandom 1999.
[2]
A. S. Sznitman, Brownian motion, obstacles and random media. Springer Monographs in Mathematics, Berlin-Heidelberg, 1998.