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Sektion 6
Dienstag, 19.09.2000, 14.00–14.50 Uhr, WIL C 129

Adaptive Wavelet–Verfahren für elliptische Operatorgleichungen

Stephan Dahlke, RWTH Aachen, Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

In diesem Vortrag beschäftigen wir uns mit der numerischen Behandlung von Operatorgleichungen der Form Au = F , wobei A einen beschränkt invertierbaren linearen Operator bezeichnet. Insbesondere interessieren wir uns für adaptive numerische Verfahren auf Wavelet–Basis. Wir werden drei fundamentale Gesichtspunkte diskutieren. Zunächst soll geklärt werden, für welche Problemklassen mittels adaptiver Verfahren tatsächlich ein Effizienzgewinn erzielt werden kann. Es stellt sich heraus, dass die Konvergenzordnung adaptiver Verfahren im Allgemeinen von der Regularität der exakten Lösung in einer speziellen Skala von Besov–Räumen abhängt. Wir werden daher zumindestens für einige wichtige Modellprobleme entsprechende Regularitätsresultate diskutieren. Anschließend wenden wir uns der praktischen Realisierung adaptiver Algorithmen zu. Aufbauend auf Wavelet–Entwicklungen können zuverlässige und effiziente a–posteriori Fehlerschätzer konstruiert werden, welche zu einer adaptiven Strategie führen, deren Konvergenz gezeigt werden kann. Es kann weiterhin nachgewiesen werden, dass diese adaptive Strategie asymptotisch optimal ist in dem Sinne, dass sie die Konvergenzrate der besten N–Term Approximation realisiert. Darüber hinaus werden wir uns mit Fragen der konkreten Implementierung adaptiver Verfahren beschäftigen. Insbesondere werden erste Realisierungen für einige einfache, aber lehrreiche Modellprobleme vorgestellt und diskutiert.