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Sektion 2
Freitag, 22.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, POT 51

Über die Fortsetzung von Lösungen elliptischer Differentialgleichungen

Frank Müller, BTU Cottbus

Wir betrachten eine Lösung z = z(x, y)  (- C2(_O_  U G, R) der nichtlinearen, elliptischen Differentialgleichung F (x, y, z, zx, zy, zxx, zxy, zyy) = 0 in einer offenen Menge _O_ < R2. Auf dem Randbogen G < @_O_ genüge z einer Dirichletrandbedingung z = f oder einer nichttangentialen Randbedingung erster Ordnung zn = y(x, y, z, zt). Dabei bezeichnet zn die Normalenableitung und zt die Tangentialableitung von z. Wir zeigen: Sind F , G und f bzw. y reellanalytisch, so kann z als reellanalytische Lösung von F = 0 über den Randbogen G hinweg fortgesetzt werden.

Der Beweis ist konstruktiv - Wir gewinnen eine Fortsetzung von z durch Lösen eines semilinearen, hyperbolischen Anfangsrandwertproblems mittels sukzessiver Approximation. Zu dessen Herleitung verwenden wir eine Uniformisierungsmethode, mit Hilfe derer die nichtlineare Gleichung F = 0 in ein System mit Hauptteil D für die vektorwertige Funktion z = (x, y, z, zx, ..., zyy) überführt wird, und z genügt gewissen gemischten Randbedingungen. Der Übergang zum hyperbolischen Problem beruht dann auf H. Lewys Idee der Fortsetzung der Lösung ins Komplexe.