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Sektion 14
Dienstag, 19.09.2000, 14.00–14.50 Uhr, WIL C 207

Konstruktive Erkennung von Matrixgruppen

Gerhard Hiß, RWTH Aachen

Gegeben sei eine Menge X von invertierbaren (d × d)-Matrizen über einem endlichen Körper mit q Elementen, und es sei G := <X>  (_ GL(d, q) die von X erzeugte endliche Gruppe.

Was kann in dieser Situation über die Struktur von G ausgesagt werden? Einige naheliegende Fragen sind: Wie viele Elemente hat G? Welche einfachen Gruppen kommen in G als Kompositionsfaktoren vor? Was ist der Isomorphietyp von G? Wenn X nur aus einem Element x besteht, dann sind alle diese Fragen gleichwertig: Gesucht ist die Ordnung von x. Aber auch in diesem Spezialfall ist die Antwort nicht offensichtlich.

Das sogenannte Matrixgruppen-Erkennungsprojekt sucht nach praktikablen Algorithmen zur Beantwortung dieser und verwandter Fragen, wobei Größen von bis zu 100 für d und q erlaubt sein sollen. Seit langem sind Algorithmen für den Fall bekannt, dass X eine Menge von Permutationen (auf einer festen Anzahl von Ziffern) und G die davon erzeugte Untergruppe in der entsprechenden Permutationsgruppe ist.

Die Untersuchungen für Matrixgruppen begannen vor etwa 10 Jahren, angeregt durch eine Frage von Joachim Neubüser. Die Strategie zum Erkennen von Matrixgruppen benutzt eine Vielzahl zum Teil probabilistischer Algorithmen, einige eigens zu diesem Zweck entworfen, andere schon älter und ursprünglich mit ganz anderen Zielen entwickelt. Darüber hinaus werden theoretische Kenntnisse, z.B. Aschbachers Klassifikation von Untergruppen linearer Gruppen oder die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, substantiell eingesetzt.

Der Vortrag soll einen Überblick über die verwendeten algorithmischen und theoretischen Methoden geben und einige davon genauer vorstellen. Mit Hilfe des GAP3-Pakets MATRIX, in dem viele der beschriebenen Algorithmen implementiert sind, werden die Verfahren durch Beispiele illustriert.