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Sektion 10
Freitag, 22.09.2000, 14.00–14.20 Uhr, PHY C 213

Die Vorhersage des Vorzeichens Dedekindscher Summen

Kurt Girstmair, Universität Innsbruck

Seien c > 1 und d  (- [0, c[ teilerfremde ganze Zahlen. Das Vorzeichen der klassischen Dedekindschen Summe

          sum  c
s(d,c) =     ((n/c))((nd/c))
         n=1
(wobei ((x)) = 0 für x  (- Z und ((x)) = x -  |_ x _| - 1/2 für x  (- Q \ Z) ist mehrfach untersucht worden. Es scheint sich aber einer Vorhersage allein aufgrund der Kenntnis von c und d weitgehend zu entziehen. In diesem Vortrag wird ein System von (vielen) untereinander nicht zusammenhängenden Intervallen I  (_ [0, c[ beschrieben, derart, dass für jedes I und jedes d  (- I, (d, c) = 1, eine solche Vorhersage möglich ist. Das unterste bzw. oberste Intervall des Systems ist dabei das bereits von Rademacher erkannte Intervall [ 0,  V~ -----
  c-  1 [ bzw. ] c -  V~ -----
  c- 1, c [ positiven bzw. negativen Vorzeichens. Auf diese Weise wird etwa im Fall einer Primzahl c eine Vorhersage für mindestens 1.8 . c2/3 Werte von d möglich. Das Resultat gibt Anlass zu verschiedenen Fragestellungen, u. a. solchen gitterpunkttheoretischer Natur.