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Sektion 1
Donnerstag, 21.09.2000, 17.00–17.20 Uhr, POT 151

Globale Strategie zur Untersuchung nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme

Peter Möbius, Dresden

Gegeben sei ein System von f gekoppelten nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen für eine entsprechende Anzahl von Variablen xk(t), wie es etwa bei einem Vielteilchenproblem der klassischen Mechanik auftritt.

Das Wesen der globalen Strategie besteht nun darin, nicht die Struktur und Eigenschaften der einzelnen Trajektorien (im Phasenraum) zu ermitteln, sondern aus den xk neue „globale “ Variable zu bilden, die im Wesentlichen das Gesamtverhalten des Systems charakterisieren, und einfachere Differentialgleichungen erfüllen als die gegebenen.

Ein bekanntes Beispiel für die globalen Größen sind die Erhaltungsgrößen, wichtige Eigenschaften des Systems erfassend, die eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung erfüllen. Bislang ist jedoch die Aufgabe, für ein System der klassischen Mechanik den vollständigen Satz von Erhaltungsgrößen zu ermitteln, nur für spezielle „integrable “ Systeme bewältigt worden. Die entsprechenden Hamiltonfunktionen werden durch ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erfasst, das bis heute noch nicht zufriedenstellend gelöst wurde.

Eine Erweiterung der Idee der Erhaltungsgrößen dahingehend, solche Größen zu suchen, die „einfachere “ als die gegebenen Differentialgleichungen erfüllen und exakte Aussagen gestatten, führt zunächst auf homogene Funktionen gn(x1, ..., xf ) der Variablen. Bereits einfache Ansätze liefern überraschende Aussagen für eine Vielzahl von Wechselwirkungspotentialen. Damit wurden erste exakte Aussagen über nichtlineare 3-dimensionale Systeme gefunden.

Lineare Schwingungen und Wellen werden durch einfach-periodische Funktionen erfasst und deren Additionstheoreme sind mit der linearen Superposition von Lösungen, die universell ist, verknüpft. Bereits bei der Behandlung des einfachen nichtlinearen Schwingungsproblems, des mathematischen Pendels, treten doppelt-periodische Funktionen auf. Unter speziellen Voraussetzungen charakterisieren nun deren Additionstheoreme Wechselwirkungspotentiale von integrablen Hamiltonschen Systemen. Überraschenderweise ergeben sich die zugehörigen Erhaltungsgrößen „geradlinig “, sie sind algebraische Invariante von (f × f)-Matrizen, die sich speziellen Hamiltonschen Systemen von f Freiheitsgraden zuordnen lassen.

Es ist nun instruktiv, derartige Wechselwirkungspotentiale zu ermitteln und ihre physikalische Interpretation und physikalischen Anwendungen zu betrachten.