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Sektion 7
Freitag, 22.09.2000, 17.00–17.50 Uhr, POT 112

Lokalisierungs- und Benetzungsphänomene für Zufallsflächen

Erwin Bolthausen, Universität Zürich

Wir betrachten reellwertige Zufallsfelder (fx) x (- /\, wobei /\ eine (endliche) Teilmenge eines d-dimensionalen Gitters Zd ist, sogenannte effektive Grenzschicht-Modelle:

                    |_                               _| 
                          sum                           prod        prod 
m/\(df) d=ef-1- exp  |_ - b      p(x - y)V  (fx -  fy) _|    dfx     d0(dfx) .
           Z/\        2     d
                        x,y (- Z                       x (- /\   x/ (- /\

Dabei ist p symmetrisch und positive, mit gewissen (schwachen) Bedingungen an das Abfallverhalten. V ist das Interaktionspotential, das gerade, nicht negativ und konvex sein soll. Eine spezielle Wahl ist V (x) = x2/2, der Gauß-Fall. In der Literatur sind verschiedene Typen von Wechselwirkungen dieser „Zufallsfläche“ mit einer Wand betrachtet worden. Eine natürlich Bedingung ist die, dass die Fläche auf der einen Seite einer sogenannten „harten Wand“ liegen muss; dabei tritt entropische Abstoßung der Fläche durch die Wand auf. Eine andere Wechselwirkung wird durch lokale Anziehungseffekte beschrieben, die physikalisch von einer nicht-trivialen Fläche-zu-Wand Oberflächenspannung herrührt.

Der Vortrag gibt eine Übersicht über verschiedene in den letzten Jahren erzielte Resultate zu diesen Effekten. Speziell wird auf Arbeiten über den sogenannten Benetzungsübergang [2], [4] und auf eine neue Arbeit [3] mit Yvan Velenik (Technion, Haifa) eingegangen, die den kritischen Übergang bei schwächer werdender lokaler Anziehung in der kritschen Dimension d = 2 beschreibt. Insbesondere wird der kritische Exponent für die Korrelationslänge dieses Übergangs angegeben, und es wird gezeigt, dass logarithmische Korrekturen auftreten, was bei kritischen Dimensionen allgemein zu erwarten ist.

Der Zugang liefert wesentlich schärfere Resultate als die, die mit Renormierungsgruppen-Methoden erzielt worden sind. Er basiert auf einer Darstellung der Korrelationen mit Hilfe von Irrfahrten, scharfen stochastischen Dominationsaussagen [5] und präzisen Abschätzungen für die so genannte Wiener Wurst [2].

Literatur

[1] van den Berg, M., Bolthausen, E. and den Hollander, F.: Moderate deviations for the Wiener sausage. erscheint in Ann. of Math.
[2] Bolthausen, E., Deuschel, J.D. and Zeitouni, O.: Absence of a wetting transition for the lattice free fields in dimension three and larger. J. Math. Phys. 41 (2000), 1211-1223
[3] Bolthausen, E. and Velenik, Y.: Critical behavior of the 2d massless free field at the the depinning transition. Preprint
[4] Caputo, P. and Velenik, Y.: A note on wetting transition for gradient fields. Stoch. Proc. and Appl. 87 (2000), 107-113
[5] Ioffe, D. and Velenik, Y.: A note on the decay of correlations under d-pinning. Prob. Theory and Rel. Fields 116 (2000), 379-389