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Sektion Plenum
Montag, 18.09.2000, 10.30 Uhr, Audimax, Hörsaalzentrum Bergstraße

Riemann-Roch-, Index- und Fixpunktsätze

Friedrich Hirzebruch, Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn

Im Dezember 1953 bewies ich in Princeton den Satz von Riemann-Roch (RR) für projektiv-algebraische Mannigfaltigkeiten: RR drückt die holomorphe Eulerzahl der Mannigfaltigkeit mit Koeffizienten in einem holomorphen Vektorraum-Bündel mit Hilfe der Chernschen Klassen der Mannigfaltigkeit und denen des Vektorraum-Bündels aus. Der Signatur-Satz ist ein Spezialfall, wenn man für das Vektorraum-Bündel die direkte Summe der äußeren Potenzen des kovarianten Tangentialbündels wählt. Jetzt gehen aber nur noch die Pontrjaginschen Klassen der zugrunde liegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein. In der Tat ist der Signatursatz gültig für orientierte kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten, wurde zunächst bewiesen und war dann die Grundlage für den Beweis von RR. Ein anderer Fall, wo nur die Pontrjaginschen Klassen der Mannigfaltigkeit eingehen, ergibt sich, wenn man ein Geradenbündel wählt, dessen charakteristische Klasse multipliziert mit -2 gleich der ersten Chernschen Klasse der Mannigfaltigkeit ist. Man erhält das Â-Geschlecht, das für orientierte kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten erklärt ist und im projektiv-algebraischen Fall eine holomorphe Eulerzahl ist, sofern die erste Chernsche Klasse durch 2 teilbar ist. Im Jahre 1962 hielt Atiyah auf der 6. Bonner Arbeitstagung den Vortrag „Harmonic Spinors“, in dem die von ihm und Iz Singer stammende Vermutung formuliert wurde, wonach das Â-Geschlecht für Spin-Mannigfaltigkeiten gleich dem Index des Dirac-Operators ist. Das war der Anfang des Indexsatzes von Atiyah und Singer für lineare elliptische Differentialoperatoren. Atiyah, Bott und Singer verdankt man eine äquivariante Formulierung. Alte und neue Anwendungen dieser Fixpunktsätze sollen erwähnt werden. Auf der 1. Arbeitstagung 1957 trug Grothendieck über seinen Satz von RR vor, der den meinigen verallgemeinerte und wichtige Entwicklungen inspirierte.