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Sektion 2
Montag, 18.09.2000, 14.00–14.45 Uhr, POT 51

Decay-Abschätzungen für Wellengleichungen – Einfluss von zeitabhängiger Masse und Dissipation

Michael Reissig, TU Bergakademie Freiberg

In letzter Zeit wurde in mehreren Arbeiten die Frage diskutiert, unter welchen Voraussetzungen und mit welcher Rate die Energie der Lösungen von Wellengleichungen mit variabler Dissipation für t -->  oo fällt. Zum Beweis der globalen Existenz kleiner Daten Lösungen für entsprechende nichtlineare Modelle reichen solche Energieabschätzungen i. A. nicht aus, sondern man benötigt Lp - Lq decay Abschätzungen für zugeordnete lineare Modelle. Deshalb betrachten wir als Verallgemeinerung obiger Modelle das Cauchy-Problem für die folgende Wellengleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten:

utt-  a(t)  /_\  u + m(t)u + d(t)ut = 0 .

Um die Existenz von Lp - Lq decay Abschätzungen hinterfragen zu können, bietet es sich an, den Koeffizienten a = a(t) in der Form a = c2b2 zu schreiben. Dabei beschreibt c = c(t) das Wachstumsverhalten von a, b = b(t) ist für auftretendes oszillierendes Verhalten verantwortlich.
Im Vortrag werden folgende Fragen untersucht:

Wie kann die kritische Wechselwirkung zwischen c und b beschrieben werden? Kritisch bedeutet dabei, dass Existenz von decay-Verhalten umschlägt in Unmöglichkeit der Existenz von decay-Verhalten für beliebige Daten mit kompakten Träger.

Inwieweit beeinflussen Masse- und Dissipationsterm die kritische Wechselwirkung?

Wie ergeben sich decay-Funktion und decay-Rate?
Es wird ein Methodenapparat (mikrolokale Techniken, Symbolkalkül, Methode der Stationären Phase, Fouriermultiplikatoren, Floquet-Theorie) vorgestellt, der es gestattet, obige Fragen zu beantworten.