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Sektion Plenum
Freitag, 22.09.2000, 10.15 Uhr, Großer Mathematik-Hörsaal, Trefftz-Bau

Optimale Steuerung von Ausbreitungsvorgängen auf Graphen: Analysis und numerische Simulation

Günter Leugering, TU Darmstadt

Betrachtet werden partielle Differentialgleichungen auf vernetzten Gebieten mit Blick auf Optimierungs- und Optimalsteuerungsprobleme, deren Analyse und numerische Simulation. Insbesondere stehen eindimensionale elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen auf Graphen und Transmissionsprobleme für hyperbolische Gleichungen im mehrdimensionalen Fall im Vordergrund. Probleme der hier zu betrachtenden Art treten auf kanonische Weise im Zuge der mathematischen Abstraktion von konkreten Anwendungskontexten auf. Solche Anwendungen umfassen folgende Projekte, die im Rahmen der Drittmittelförderung unterstützt werden:

die optimale Steuerung von Bewässerungs-, Abwasser- und Pipelinesystemen
Simulation und Optimierung des Wurzelwachstums in strukturierten Böden
Echtzeitsteuerung flexibler Gittermaststrukturen
Es können umstandslos weitere Anwendungsfelder hinzugefügt werden. Zum Beispiel wird im Falle der zu steuernden Abwassersysteme von einer graphenartig vernetzten Struktur von einzelnen offenen oder geschlossenen Kanälen ausgegangen, die in multiplen Knoten miteinander verbunden sind. Es stehen zur Steuerung etwa Wehre und Reservoirs zur Verfügung, die entsprechend den Bedürfnissen den Durchfluss von Wassermengen beeinflussen. Der Fluss des Wassers wird vermöge eindimensionaler Flachwassergleichungen modelliert, die wiederum in verschiedenen Bereichen der Struktur unterschiedliche Approximationen erfahren. Das Optimalsteuerungsproblem, den Fluss des Wassers gemäß einer Zielfunktion im Netzwerk durch geeignete Steuerungen zu optimieren wird als mathematisches Problem formuliert und mit Hilfe der Theorie der Optimierung und Optimalsteuerung analysiert. Die anderen Anwendungskontexte weisen eine ähnliche Struktur auf, so dass eine exemplarische Darstellung möglich ist. Die jeweilige Dynamik auf dem netzartigen Gebiet wird vermöge eines dynamischen Bereichszerlegungsverfahrens zu entsprechenden Problemen auf einzelnen Substrukturen (hier: Kanäle) reduziert und im Zuge einer ’äußeren’ Iteration mit dem Problem auf dem Rest der Struktur abgeglichen. Die Konvergenz derartiger Iterationen wird erörtert. Es werden numerische Resultate zur Simulation und zur Optimalsteuerung auch mit Blick auf Echtzeitanwendungen vorgestellt.