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Sektion 1
Donnerstag, 21.09.2000, 15.00–15.20 Uhr, POT 151

Komplexe Iteration und Differentialgleichungen

Hartje Kriete, Universität Göttingen

Iterative Algorithmen zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen führen oft auf die Iteration rationaler oder, allgemeiner, holomorpher Funktionen. Dieses wirft die Frage nach Gemeinsamkeiten der Dynamik des einer solchen Differentialgleichung unterliegenden Flusses einerseits und andererseits der Dynamik der holomorphen Funktion auf. Diese Fragestellung berührt naturgemäß einen weit allgemeineren Problemkreis: Welches sind die Unterschiede und Gemeinsamkeiten von zeit-kontinuierlichen und zeit-diskreten dynamischen Systemen?

In dem heutigen Vortrag soll dieses Problem an Hand einer konkreten Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen beleuchtet werden: z = R(z) mit einer rationalen Funktion R. Explizit lassen wir zu, dass die rationale Funktion R Pole besitzen darf; dennoch definiert diese Differentialgleichung einen (sogenannten rationalen) Fluss auf der Riemannschen Zahlenkugel. Auch wenn diese kompakt ist, so können wegen der Singularitäten von R (die die Nicht-Lipschitzstetigkeit von R zur Folge haben) Picard-Lindelöff-artige Sätze nicht mehr angewendet werden. An dieser Stelle sei daran erinnert, dass solche Sätze die Existenz von e-Schatten zu den Lösungskurven liefert – solange man sich auf kompakte Zeitintervalle beschränkt.

Mit Hilfe von Benzinger’s Klassifikation der Trajektorien rationaler Flüsse und der Julia-Fatou-Theorie rationaler Funktionen werden wir zeigen, dass in der Tat ein viel besseres Ergebnis möglich ist: Mit Hilfe diskreter Approximationen, z. B. dem Euler-Verfahren, können e-Schatten aller glatten Trajektorien gewonnen werden, wobei der Zeitparameter das maximale Intervall (in der Regel die komplette reelle Achse) durchlaufen darf. Damit lässt sich eine wesentliche Einschränkung der klassischen Sätze, nämlich die Beschränkung auf kompakte Zeitintervalle, aufheben. Dieses Ergebnis wird in dem Vortrag durch konkrete Beispiele und Bildmaterial erklärt und illustriert.