Ein zweidimensionales Gibbssches Phänomen

Gilbert Helmberg, Universität Innsbruck

Im Quadrat Q = {(x, y) : |x| < , |y| < } sei eine konvexe Umgebung V des Ursprunges O gegeben, in dem zwei konvexe Kurven K₁ und K₂ durch O einen ’Sektor’ A begrenzen. Gegeben sei weiter eine auf Q reellwertige integrierbare Funktion f, die auf A und V \ A glatt ist, aber in O eine Sprungstelle besitzt und für die die Variationen der Funktionen f(^., y) und f(x, ^.) für alle y bzw. x im Intervall [-, ] gleichmäßig beschränkt sind. Dann zeigen die Partialsummen S_n,n(f) der Fourierreihe von f in der Umgebung von O für n ein Gibbssches Phänomen, das nur von den Steigungen der Randkurven K₁ und K₂ sowie von den Sprungniveaus von f im Ursprung bezüglich A und V \ A abhängt. Es äußert sich in der Existenz einer auf R² definierten nicht-konstanten Grenzfunktion