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Sektion 4
Donnerstag, 21.09.2000, 16.30–16.50 Uhr, POT 251

Ein zweidimensionales Gibbssches Phänomen

Gilbert Helmberg, Universität Innsbruck

Im Quadrat Q = {(x, y) : |x| < p, |y| < p} sei eine konvexe Umgebung V des Ursprunges O gegeben, in dem zwei konvexe Kurven K1 und K2 durch O einen ’Sektor’ A begrenzen. Gegeben sei weiter eine auf Q reellwertige integrierbare Funktion f, die auf A und V \ A glatt ist, aber in O eine Sprungstelle besitzt und für die die Variationen der Funktionen f(., y) und f(x, .) für alle y bzw. x im Intervall [-p, p] gleichmäßig beschränkt sind. Dann zeigen die Partialsummen Sn,n(f) der Fourierreihe von f in der Umgebung von O für n -->  oo ein Gibbssches Phänomen, das nur von den Steigungen der Randkurven K1 und K2 sowie von den Sprungniveaus von f im Ursprung bezüglich A und V \ A abhängt. Es äußert sich in der Existenz einer auf R2 definierten nicht-konstanten Grenzfunktion

                      x  y
S~(x, y;f ) = nl-->imo o  Sn,n(-,-;f )
                      n  n
mit einem konfigurationsabhängigen Überschuss von bis zu 37, 4% der halben Sprunghöhe.