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Sektion 10
Donnerstag, 21.09.2000, 16.00–16.20 Uhr, PHY C 213

Konstruktion einer Basis der totalen Normenrestgruppe eines abelschen Zahlkörpers

Detlef Gröger, Steinach

Jede Untergruppe der multiplikativen Gruppe des Körpers Q der rationalen Zahlen besitzt eine Basis. Die bekannten Beweismethoden hierfür sind nicht konstruktiv. Für den Fall der totalen Normenrestgruppe eines abelschen Zahlkörpers K stellen wir eine solche Basis tatsächlich auf.

Es sei f0 der endliche Teil des Führers von K | Q, und für jede Primzahl p bezeichne Ip die Trägheitsgruppe eines (beliebigen) Primideals p von K über p und fp dessen Trägheitsgrad. Nach dem Zerlegungsgesetz läßt sich zunächst eine Basis der Untergruppe

V := {a  (-  Q* : vp(a)  =_  0 mod fp für alle p  (-  P}(/ ~\ Q+, falls K komplex)

in der Gestalt

B = {(- 1,)pfp : p |f0} U  {pd : p  =_  r mod f0 mit r  (-  R(d)}

angeben, wobei R(d), d | exp G K|Q, eine bestimmte Partition eines positiven primen Restsystems R mod f0 ist. Weiter lässt sich eine Basis B der endlichen abelschen Gruppe

              prod        prod 
I := {(tp)p  (-   Ip :   tp = 1}
             p|f0     p

nach bekannter Methode berechnen. Unser Verfahren beschreibt nun, wie man die gesuchte Basis mit Hilfe des Epimorphismus

P : V -->  I,  a '-->  ((a,Kp | Qp))p|f0

((a, Kp | Qp) = lokales Normenrestsymbol), dessen Kern gerade die totale Normenrestgruppe ist, aus den Basen B von V und B von I konstruieren kann.