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Sektion 2
Dienstag, 19.09.2000, 16.30–16.50 Uhr, POT 6

Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen und Systeme in Gebieten mit Ecken bzw. Kanten

Susanne Knobloch, Universität Essen

Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen bzw. Systeme zweiter Ordnung in Gebieten _O_ haben Lösungen, die zu C2(_O_) gehören, falls neben den Eingangsdaten auch der Rand des Gebietes genügend glatt ist. Es geht um Gebiete, deren Ränder nicht glatt sind.
In ebenen Gebieten mit Ecken hat man für die Lösungen noch H2-Regularität, wenn die Eckwinkel klein sind. Wir betrachten Gebiete, in denen die Lösung einer Randwertaufgabe nicht mehr zu H2(_O_) gehört. Diese fehlende Regularität verursacht eine schlechte Konvergenzrate numerischer Lösungsverfahren.
Um für die Poissongleichung und das System der linearen Elastizitätstheorie bessere Konvergenz zu erreichen, nutzen wir die Zerlegung der Lösung in einen H2-regulären Teil und einen singulären Teil.
Im zweidimensionalen Fall setzt sich der singuläre Teil aus bekannten singulären Funktionen und konstanten Faktoren, die allerdings unbekannt sind, zusammen. Würde man den singulären Teil kennen, könnte man den H2-regulären Teil gut numerisch bestimmen und die gesuchte Lösung durch Addition des singulären Teils erhalten. Deshalb geht es um die Herleitung von Formeln für die Berechnung der Faktoren des singulären Teils. Da in diese Formeln die unbekannte Lösung eingeht, ist bei der numerischen Umsetzung iterativ vorzugehen.
Es wird noch ein Ausblick auf spezielle Aufgaben in dreidimensionalen Gebieten mit Kanten gegeben.