INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK

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Arbeitsgemeinschaft
Stochastische Vielteilchensysteme in der Mathematischen Biologie

Entwicklung und Analyse von räumlich interagierenden stochastischen Modellen und deren

Anwendung auf Strukturbildungsprobleme in der Entwicklungsbiologie

In der Entwicklungsbiologie wird erforscht, auf welche Weise die genetische Kontrolle von

Zellwachstum, Zelldifferenzierung und Zellspezialisierung zur Entwicklung von komplexen Organismen

führt. Dabei untersucht man beispielsweise die Strukturbildung während der Embryogenese. Ein Embryo

besteht zunächst aus vielen identischen Zellen. Im Zeitverlauf beobachtete man, dass diese Zellen

zu unterschiedlichen Zelltypen differenzieren und sich in charakteristischer räumlicher Form

anordnen. Wie entsteht diese räumliche Heterogenität? Woher bekommt eine einzelne Zelle die

Information über ihre Rolle im Entwicklungsprozess? Es gibt dazu im Wesentlichen zwei Theorien. Die

erste besagt, dass sogenannte Morphogene, das sind miteinander reagierende diffusible chemische

Stoffe, ein globales Pre-Muster bilden, an dem sich die Zellen orientieren können [Turing, 1952].

In der Tat sind inzwischen viele Morphogene bekannt, die eine Rolle bei der Morphogenese spielen.

Beim zweiten Erklärungsansatz wird die Strukturbildung als Resultat einer sogenannten

Selbstorgansiation gesehen. Es wird vermutet, dass die Zellen ihr Verhalten am Zustand ihrer

unmittelbaren Umgebung ausrichten, also nur lokale Informationen haben. Durch die Vielzahl der

Wechselwirkungen können dabei komplexe Strukturen entstehen. Bei dem geschilderten Problem aus der

Embryogenese wird ein solcher Mechanismus angenommen. Typische Fragestellungen sind nun, welche

Wechselwirkungen zwischen den Zellen tatsächlich zu Selbstorganisation führen, welche Art der

lokalen Interaktion in welche Struktur mündet oder durch welche Einflußgrößen die Musterbildung

gesteuert werden kann.

Nur mit Hilfe geeigneter mathematischer Modelle lassen sich die genannten Fragen beantworten. Hier

bietet sich insbesondere die Modellklasse der stochastischen interagierenden Vielteilchensysteme

(VTS) an. Ein VTS ist ein Fellerprozess mit einem speziellen Zustandsraum, dem sogenannten

Konfigurationenraum [Liggett85]. Es ist geeignet, die zeitliche Entwicklung von räumlich

ausgebreiteten, lokal miteinander wechselwirkenden Individuen zu beschreiben. Bisher existierende

Modelle wurden vor allem im Hinblick auf Anwendungen in der statistischen Physik entwickelt. In

diesem Kontext sind VTS vor allem Werkzeuge, um typisches Verhalten im thermodynamischen

Gleichgewicht zu charakterisieren. In der Entwicklungsbiologie sind es jedoch vor allem dynamische

Konzepte, die durch ein geeignetes Modell präzisiert und analysiert werden sollen. Deshalb ist es

wichtig, neue, an die biologische Fragestellung angepasste VTS zu entwickeln. Die Analyse dieser

Modelle ist aus mathematischer Sicht herausfordernd, da es sich um Markovprozesse mit

unendlich-dimensionalen Zustandsraum handelt. Viele ad-hoc Methoden, die in heuristischen

Überlegungen verwendet werden, sind mathematisch noch nicht ausreichend fundiert. Es entstehen

tiefliegende mathematische Probleme, die nur durch innovative Weiterentwicklung der vorhandenen

Methoden zur Analyse von VTS bearbeitet werden können.

Mitarbeiter

A. Voß-Böhme
Stochastische Vielteilchensysteme zur Modellierung von Zell-Systemen, Langzeitverhalten, Dualität, Reversibilität, hydrodynamischer Limes, metastabile Zustände von Vielteilchensystemen mit Austauschdynamik

W. Schenk
Stochastische Vielteilchensysteme als Markov-Prozesse mit speziellem Zustandsraum, Dualität

N. Hohmann
Modellierung und Analyse von Mechanismen der Lebergrößenregulation und –regeneration mittels stochastischer Vielteilchensysteme

Seminare

SS 2011: Seminar Stochastik: Monte Carlo Methoden (Mo., 2.DS, WIL B 307)

WS 2009/10: Stochastische Vielteilchensysteme: Konstruktion und Langzeitverhalten (Di., 3.DS, C 133)

WS 2009/10: Nachweis der Ergodizität von Stochastischen Vielteilchensystemen über Dualitätsbeziehungen (Do., 4.DS, C 205)

SS 2009: Dualität für interagierender Vielteilchensysteme

WS 2008/09: Ausgewählte Themen zum Langzeitverhalten interagierender Vielteilchensysteme

WS 2006/2007, SS 2007: Gibbs-Maße

Vorlesung

SS 2007: Einführung in die Theorie der Vielteilchensysteme (2+0+0) [Skript]

Freie Diplomthemen

- Zusammenhang zwischen Dualität und Symmetrien bei stochastische Vielteilchensystemen

- Konstruktion von Vielteilchensystemen mit nichtkompaktem lokalen Zustandsraum

- Beschreibung von zufälligen Feldern mit Erhaltungsgrößen mittels geeigneter Subspezifikation

- Markovsche Modelle für biologische Regulation

Voraussetzungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Markovsche Ketten, Stochastische Prozesse
Erwünscht: Funktionalanalysis
Verantw. Hochschullehrer: nach Vereinbarung

Weitere Themen nach Absprache möglich.

Doktoranden

Tobias Klauß (2008)
An interacting particle system for collective migration.

(verantw. Hochschullehrer Prof. D. Ferger) 

Diplomanden

T. Buder (ab 07/2011)
Der duale Operator eines Liggettschen stochastischen Vielteilchensystems.

(verantw. Hochschullehrer Prof. D. Ferger)

T. Körner (2011)
Mathematische Modellierung und Computersimulation von Entmischungsprozessen in biologischen Zellverbänden.

(verantw. Hochschullehrer Prof. A. Deutsch)

N. Hohmann (2010)
Die epidemiologischen Konsequenzen von Lepra-Tuberkulose-Koinfektionen.

(verantw. Hochschullehrer Prof. D. Ferger)

Daniel Karrasch (2009)
Über verallgemeinerte Modelle.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. S. Siegmund)

Katharina Olsen (2007)
Qualitative und quantitative Charakterisierung von Mustern in interagierenden Vielteilchensystemen.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. D. Ferger)

Thomas Babiel (2007)
Mathematische Modellierung proximodistaler Musterbildung am Beispiel des Axolotls.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. D. Ferger)

Ann-Kathrin Koellner (2006)
Dualität bei stochastischen Vielteilchensystemen.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. R. Kühne)

David Wierse (2006)
Dualität und schnelles Mischen bei Voter-Exclusion-Prozessen.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. R. Kühne)

Martin Achtnicht (2006)
Das lineare nearest-neighbor Voter-Modell im Finite Systems Scheme.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. R. Kühne)

Michael Kiersch (2006)
Asymptotisches Verhalten beim einfachen symmetrischen Ausschlussprozess.
(verantw. Hochschullehrer Prof. Dr. R. Kühne)

A. Voß--Böhme, 12.5.2011