Professur für Numerik partieller Differentialgleichungen
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Seminar Numerik, WS 17/18

Im Seminar Numerik sollen ausgewählte Themen aus der numerischen Mathematik selbständig erarbeitet und in einem Vortrag präsentiert werden. Teilnehmer sollten die Vorlesungen "Numerik Einführung" und "Numerik" gehört haben, oder äquivalente Vorkenntnisse aufweisen können. Als Thema ist alles erlaubt was Spaß macht, mit Numerik zu tun hat, und hinreichend anspruchsvoll ist. Bei der Vorbesprechung (s.u.) wird eine Liste von Themenvorschlägen präsentiert werden, aber es kann auch jeder gerne eigene Themen vorschlagen.



Vorbesprechung

Donnerstag 12.10.2016, 13:00, im Raum WIL A221


Kriterien für das Bestehen der Veranstaltung

  • Halten eines ca. 40-minütigen Vortrags, wahlweise an der Tafel, oder mit Computerfolien, oder kombiniert.
  • Eine dazugehörige schriftliche Ausarbeitung, ca. 10 Seiten. 10 Seiten bedeutet: Auf keinen Fall mehr als 15!
  • Teilnahme an den Vorträgen der anderen Teilnehmer

Kriterien für die schriftliche Ausarbeitung

Die schriftliche Ausarbeitung muss folgenden formalen Kriterien genügen, um angenommen zu werden: (diese Bedingungen sind notwendig, aber nicht hinreichend!)

  • Sie muss ca. 10 Seiten lang sein
  • Sie muss in LaTeX gesetzt sein.
  • Die Ausarbeitung darf keine nennenswerte Anzahl von orthographischen oder grammatikalischen Fehlern enthalten.
  • Insbesondere gelten die Regeln der Zeichensetzung auch dann, wenn ein Satz mathematische Formeln enthält.
  • Geben Sie Ihre Quellen an. Skripten und Vorlesungsnotizen aus dem Internet sind keine zitierfähigen Quellen!
  • Die endgültige Ausarbeitung muss spätestens am 1.3.2018 abgegeben sein.

Termine

Die Vorträge finden an den folgenden Terminen statt:

30. November 2017

  • Zeitschrittsteuerung für gewöhnliche Differentialgleichungen

14. Dezember 2017

  • Explizite Extrapolationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen

11. Januar 2018

  • Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung

18. Januar 2018

  • Zufallszahlen

Themen

Dies ist die Liste der Themen aus dem vergangenen Wintersemester. Die sind immer noch toll, ich werde aber zusehen dass noch ein paar Neue dazukommen. Außerdem kann jeder gerne seine eigenen Themen mitbringen.


Gewöhnliche Differentialgleichungen

  • Zeitschrittsteuerung für gewöhnliche Differentialgleichung
    In manchen Fällen konzentrieren sich die 'interessanten' Ereignisse der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung in kurzen Momenten, während für lange Zeit wenig passiert. In solchen Fällen kann es sich lohnen, den Zeitschritt eines Lösungsverfahrens adaptiv zu wählen. Dafür gibt es verschiedene Ansätze, von denen hier einer erklärt werden soll.

    Literatur: Deuflhard, Bornemann, "Numerische Mathematik 2", Kapitel 5

  • Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung
    Die Konstruktion von Runge-Kutte-Verfahren der Ordnungen 2 bis 4 ist etwas ad hoc. Um Verfahren höherer Ordnung systematisch zu konstruieren muss man sich etwas mehr Gedanken machen. Dafür findet man schöne und überraschende Verbindungen in andere Teile der Mathematik, insbesondere in die Graphentheorie.

    Literatur: Deuflhard, Bornemann, "Numerische Mathematik 2", Kapitel 4.2.3

  • Explizite Extrapolationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen
    Extrapolation kennen manche schon aus der Numerik von bestimmten Integralen: Wendet man eine Quadraturformel niedriger Ordnung mit zwei verschiedenen Schrittweiten an, so kann man daraus ein Resultat höherer Ordnung gewinnen. Der gleiche Trick funktioniert auch für Zeitschrittverfahren.

    Literatur: Deuflhard, Bornemann, "Numerische Mathematik 2", Kapitel 4.3


Numerische Lineare Algebra

  • Numerische Eigenwertberechnung

    Wie berechnet man eigentlich die Eigenwerte von großen Matrizen? Das ist gar nicht so einfach wie man zunächst meinen sollte.

    Literatur: Deuflhard, Hohmann, "Numerische Mathematik I", Kapitel 5 und 8

  • Bandmatrizen
    Gleichungssysteme mit Diagonalmatrizen sind einfach, Gleichungssysteme mit dünnbesetzten Matrizen sind schon ziemlich schwierig. Gibt es noch etwas dazwischen? Jawohl: die Bandmatrizen.

    Literatur: Dahmen, Reusken, "Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler", Kapitel 3.7
    Golub, van Loan, "Matrix Computations"

  • Strassens Algorithmus
    Alle Welt dachte dass das Multiplizieren von zwei dichten quadratischen Matrizen kubisch viel Zeit braucht. Dann kam Volker Strassen mit einer verblüffenden Idee und zeigte, dass O(n^log7) reicht.

    Literatur: Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Algorithmen -- eine Einführung", Kapitel 4.2
    V. Strassen. Gaussian elimination is not optimal. Numer. Math., 13:354-356, 1969.


Sonstiges

  • Zufallszahlen
    Für erstaunlich viele Anwendungen muss man Folgen von zufälligen Zahlen erzeugen. Geht das überhaupt, wo doch Mathematik und Computer rein deterministisch zu sein scheinen? Und wenn ja, wie macht man das?

    Literatur:Gentle, "Random Number Generation and Monte Carlo Methods",
    Dunn, Shultis, "Exploring Monte Carlo Methods", Kapitel 3

  • Raumfüllende Kurven
    Raumfüllende Kurven sind eine Kuriosität der Mathematik: Es sind stetige, surjektive Abbildungen eines Intervalls in ein Rechteck. Erstaunlicherweise haben diese Kurven Anwendungen in der Numerik.

    Literatur: Bader, "Space-Filling Curves - An Introduction with Applications in Scientific Computing", Springer

  • Monte Carlo Methoden Diese Klasse von numerischen Algorithmen ist tatsächlich nach der berühmten Spielbank in Monaco benannt, denn der Zufall spielt hier eine große Rolle. Mit Monte Carlo Methoden kann man z.B. globale Minima einer Funktion ausrechnen (Simulated Annealing), oder Integrale in hochdimensionalen Räumen berechnen. Wenn man viel Zeit hat kann man auch Pi ausrechnen, ohne dafür Mathematik studiert haben zu müssen.

    Literatur:Dunn, Shultis, "Exploring Monte Carlo Methods", Kalos, Whitlock, "Monte Carlo Methods"

  • Fließkommazahlen und der IEEE-754-Standard
    Rundungsfehler können das Verhalten von numerischen Algorithmen auf subtile, und teilweise desaströse Weise beeinflussen. Damit (möglichst) nicht auch noch die Wahl der Computerhardware einen Einfluss bekommt hat man die Darstellung von reellen Zahlen im Computer standardisiert.

    Literatur: Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic", ACM Computing Surveys (1991)

  • Intervallarithmetik
    Intervallarithmetik ist ein alternativer Ansatz, um mit Rundungsfehlern umzugehen. Statt Zahlen auszurechnen, von denen man immer weiß, dass sie rundungsfehlerbehaftet sind, rechnet man Intervalle aus. Diese werden gerade so groß gewählt, dass man garantieren kann, dass das korrekte Ergebnis im Intervall ist. So erhalt man präzise Fehlerangaben für das berechnete Ergebnis.

    Literatur: Moore, Baker Kearfott, Cloud, "Introduction to Interval Analysis", SIAM

  • Konvergenzbeschleunigung
    Numeriker freuen sich, wenn eine Folge konvergiert; sie freuen sich noch mehr wenn die Folge schnell konvergiert. Kurioserweise kann man aus langsam konvergierenden Folgen schnell konvergierende Folgen machen, ohne den Prozess zu kennen, der die Folge erzeugt.

    Literatur: Gander, Gander, Kwow, "Scientific Computing - An Introduction using Maple and MATLAB", Kapitel 5.2.4

  • ...

Themen die vor kurzem schon mal in meinem Seminar behandelt wurden, und die ich deshalb nur in Notfällen gleich schon wieder sehen will

  • Automatisches Differenzieren
    In vielen Fällen benötigt ein Algorithmus eine Funktion und deren Ableitung. Klassisches Beispiel ist hier das Newton-Verfahren zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen. Es ist aber mühsam und fehlerträchtig, die Ableitungen von Hand auszurechnen und zu Implementieren. Glücklicherweise kann man das auch den Computer machen lassen!

    Literatur: Griewank, Walther, "Evaluating Derivatives"

  • Schießverfahren für zeitartige Randwertprobleme
    In manchen Anwendungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen hat man nicht nur Anfangs- sondern auch Endbedingungen. Da diese Anwendungen ursprünglich aus der Ballistik kommen (wie muss ich die Kanone einstellen, damit ich den Gegner aufs Haupte treffe?) nennt man eine Klasse von Verfahren für solche Probleme Schießverfahren.

    Literatur: Deuflhard, Bornemann, "Numerische Mathematik 2", Kapitel 8.2

  • Die schnelle Fouriertransformation (FFT)
    Die schnelle Fouriertransformation wird manchmal als "wichtigster numerischer Algorithmus überhaupt" bezeichnet. Sie hat Anwendungen hauptsächlich in der Bild- und Signalverarbeitung, aber auch in der Kryptographie.

    Literatur: Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, "Algorithmen -- eine Einführung", Kapitel 30

  • Rückwärtsanalyse von Algorithmen
    Die klassische Fehleranalyse von Algorithmen fragt: "Wenn ich weiß, wie groß der Fehler in meinen Eingabedaten ist, wie groß ist dann der Fehler im Resultat?". Die Rückwärtsanalyse dreht den Spieß um und fragt: "Angenommen ich kenne die größe des Fehlers im Resultat. Wie groß muss der Fehler in den Eingabedaten gewesen sein?" Diese neue Sichtweise erlaubt teilweise sehr erhellende Einsichten in das Verhalten von Algorithmen.

    Literatur: Bornemann, "Numerische Lineare Algebra", Kapitel 13-15

  • Numerische Eigenwertberechnung

    Wie berechnet man eigentlich die Eigenwerte von großen Matrizen? Das ist gar nicht so einfach wie man zunächst meinen sollte.

    Literatur: Deuflhard, Hohmann, "Numerische Mathematik I", Kapitel 5 und 8


Stand:
Autor: Oliver Sander