Professur für Numerik partieller Differentialgleichungen

Diese Seite präsentiert eine Auswahl möglicher Themen für Bachelor- und Masterarbeiten. Die meisten davon berühren aktuelle Forschungsthemen. Wer keins von den vorgeschlagenen Themen mag (oder vielleicht schon ein eigenes hat) und dennoch bei mir eine Abschlussarbeit schreiben will sollte einfach auch mich zukommen.


Bei vielen Themen muss in der einen oder anderen Form programmiert werden. Dazu wird meistens DUNE verwendet.


Übersicht

Differentialgleichungen mit Werten in einer Mannigfaltigkeit

Numerische Festkörpermechanik

Strömung in porösen Medien

Sonstige


Das Schalenmodell von Simo und Fox

Mit "Schale" bezeichnet man in der Mechanik das Modell eines sehr dünnen, quasi zweidimensionalem Objekts, z.B. eines Metallblechs. In [1] stellten Juan Simo und D. Fox das Modell einer Schale mit einem Direktor vor. Das ist ein Vektor, der an jedem Punkt die Querschnittsrichtung angibt. Mathematisch handelt es sich bei dem Schalenmodell um eine partielle Differentialgleichung für Funktionen mit Werten in R^3 x S^2.

Die numerische Behandlung solcher Gleichungen ist schwierig, da die Ansatzfunktionen keinen linearen Raum bilden. Man kann deshalb keine normalen Finiten Elemente nehmen. Ziel dieses Projekts ist es, Geodätische Finite Elemente für das Modell von Simo und Fox verwenden.


[1]: J. Simo und D. Fox: On a stress resultant geometrically exact shell model. Part I: Formulation and optimal parametrization. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 72:267-304, 1989


Voraussetzungen: Spaß an Numerik und Differentialgeometrie

Projektionsbasierte Geodätische Finite Elemente

Geodätische Finite Elemente (GFE) sind Finite Elemente für Funktionen die ihre Werte nicht in R sondern in einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit annehmen. Ein Beispiel dafür sind Konfigurationen von sog. Schalen (Mit "Schale" bezeichnet man in der Mechanik das Modell eines sehr dünnen, quasi zweidimensionalem Objekts, z.B. eines Metallblechs.) In diesem Fall ist die Mannigfaltigkeit gerade die Menge der orthogonalen 3x3-Matrizen.

Anstelle der normalen Lagrange-Interpolation (die in nichtlinearen Räumen nicht definiert ist) verwenden GFE die Karcher-Mittelung, die nur implizit gegeben ist. Das liefert gute Ergebnisse, ist allerdings relativ teuer. Ist für die Bildmannigfaltigkeit eine Einbettung in einen Euklidischen Raum gegeben, so kann man alternativ interpolieren, in dem im Euklidischen Raum interpoliert, und das Ergebnis auf die Mannigfaltigkeit projiziert wird. Im Falle der für mechanische Schalen wichtigen Rotationsmatrizen ist diese Projektion gerade die Polarzerlegung.

Ziel dieses Projekts ist es, ein existierendes GFE-Modell für eine Schale so umzustellen, dass es stattdessen projektionsbasierte Elemente verwendet.


Voraussetzungen: Spaß an Numerik und Differentialgeometrie

Programmieranteil: mittel (C++)



Geodätische Finite Elemente für symmetrische, positiv definite Matrizen

Nicht alles lässt sich mit Funktionen beschreiben, deren Werte Zahlen oder Vektoren sind. In manchen Fällen leben die Werte in einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel sind die weiter oben erwähnten Schalenmodelle.

Will man solche Funktionen numerisch behandeln, so kann man keine normalen Finiten Elemente nehmen, denn dafür müsste man Funktionswerte linear interpolieren können. Stattdessen nimmt man Geodätische Finite Elemente, die allgemein genug sind, auch den nichtlinearen Fall zu umfassen.

In Problemen des Strahlungstransports tauchen partielle Differentialgleichungen auf, die Funktionen mit Werten im Raum symmetrischer und positiv definiter Matrizen beschreibt. Diese Matrizen bilden eine nichtlineare Mannigfaltigkeit. Ziel dieses Projekts ist es, geodätische Finite Elemente für Matrizen-wertige Funktionen zu verstehen und umzusetzen.

In manchen Anwendungen sind die Matrizen zusätzlich Hankel-Matrizen. Auch dafür können geodätische Finite Elemente verwendet werden; die Konstruktion ist allerdings schwieriger.


Voraussetzungen: Spaß an Numerik und Differentialgeometrie

Programmieranteil: gering bis mittel (C++)



Numerische Simulation eines linearen mikromorphen Materialmodells

Manche Materialien zeigen eine sogenannte akustische Bandlücke, d.h. sie lassen sich für bestimme Frequenzen nicht zu Schwingungen anregen. Mit der klassischen Theorie elastischer Materialien lässt sich dieses Phänomen nicht erklären. Eine mögliche Erweiterung des Modells zur Erklärung der Bandlücke sind die sogenannten mikromorphen Materialien. Dabei erhält jeder Punkt des Materials zusätzlich zu seiner Position noch eine 3x3-Matrix zugewiesen, die die Deformation einer angenommenen Mikrostruktur beschreibt.

Ein solches Modell ist zum Beispiel hier beschrieben. Die besondere Herausforderung ist, dass die Mikrostruktur im Raum H(curl) lebt, das ist der Raum aller Matrixfelder, deren zeilenweiser curl quadratintegrierbar ist. Deshalb benötigt man spezielle Finite Elemente, von denen in der Literatur mehrere vorgeschlagen worden sind.

Inhalt dieses Projekt ist es, das oben angegebene mikromorphe Modell zu verstehen, und eine Finite-Elemente-Implementierung dafür anzufertigen.

Voraussetzungen: Spaß an Numerik und Mechanik

Programmieranteil: mittel (C++)

Adaptive Mesh Refinement for Variable Density Flow in Porous Media

(Co-supervised by Prof. Marc Walther, Chair of Contaminant Hydrology)

This project deals with the numerical simulation of porous media flow by means of the finite element method. If the flow has non-constant density, the correct quantification of dispersivity has been an issue in porous media transport modeling for a long time. Dispersivity is the gradual smoothing of phase boundaries over time. It is difficult to assess numerically, because numerical artifacts interfere with the natural dispersivity of the physical system.

It is known from experiments that dispersion in real-world systems tend to be very small. The appropriate numerical representation of these small values requires an extremely fine mesh to achieve a stable numerical solution with negligible numerical dispersion.

Adaptive mesh refinement (AMR), i.e., changing the mesh resolution during runtime at relevant locations, offers one possibility to obtain results within reasonable amounts of time without sacrificing the desired accuracy. The goal of the project is to try out AMR for dispersive problems in a simple protoype situation. The implementation will use one of the existing open source finite element packages like fenics, OpenGeoSys, or Dune. The long-term goal is to make AMR available to researchers in geo-hydrology. The AMR should be able to handle different mesh elements and dimensions, and cope with given hydro-geological properties (e.g., heterogeneous layering).

Multiple evaluation criteria for the mesh adaption (based e.g. on Peclet number, process variable gradients, a posteriori error estimators etc.) are to be compared, and their impact on performance and accuracy of the results evaluated. The performance gain due to AMR will be evaluated in comparison to a non-AMR simulation with a uniform high-resolution mesh.

Literatur: Deuflhard, P., Weiser, M., Adaptive Numerical Solution of PDEs, de Gruyter, 2012.

Voraussetzungen: Etwas Erfahrung mit der Numerik von partiellen Differentialgleichung. Spaß an echten Anwendungen!

Programmieranteil: mittel bis hoch (C++ und/oder Python)

Die 2-Lagrange-Multiplier-Methode

Die 2-Lagrange-Multiplier-Methode (2LM-Methode) ist eine Gebietszerlegungsmethode zum Lösen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Gebiet wird dabei in nichtüberlappende Teilgebiete unterteilt. Danach werden nur noch Probleme für Funktionen auf den Rändern der einzelnen Teilgebiete betrachtet. Die 2LM-Methode ist elegant und recht einfach zu parallelisieren.

Eine Bachelorarbeit zu diesem Thema würde diese Methode und den Beweis Ihrer Konvergenz beschreiben. Für eine Masterarbeit kann zusätzlich z.B. folgendes untersucht werden:

  • In der Arbeitsgruppe existiert bereits eine sequentielle Implementierung der 2LM-Methode. Implementieren Sie ein parallele Variante.
  • Die 2LM-Methode ist eine Eingittermethode. Wie andere solche Methoden auch wird sie langsam, wenn die Anzahl der Teilgebiete zu groß wird. Abhilfe schafft eine Grobgitterkorrektur (d.h. die Erweiterung zu einem Zweigitterverfahren). In der Literatur sind mehrere solche Grobgitterkorrekturen vorgeschlagen worden. Diese sollen untersucht und, ausgehend von einer existierenden Implementierung des Eingitterverfahrens, programmiert werden.
  • Es gibt die 2LM-Methode auch für nichtlineare Gleichungen, z.B. für die Richards-Gleichung. Beschreiben Sie das Verfahren und versuchen Sie, die durch das Verfahren erzeugte mathematische Struktur zu verstehen.

Voraussetzungen: Numerik von partiellen Differentialgleichungen, lineare Algebra

Programmieranteil: Je nach Variante zwischen 'sehr gering' und 'hoch'



Dynamische Lastverteilung auf einem Parallelrechner

Als dynamische Lastverteilung bezeichnet man das Verschicken von Teilen eines Finite-Elemente Gitters von einem Prozessor zu anderen. Verwendet wird das, wenn sich durch lokale Gitterverfeinerung auf einem Prozessor eines Parallelrechners zu viele Elemente angesammelt haben. Um die Last gleichmäßig auf die vorhandenen Prozessoren zu verteilen werden dann einige der Elemente verschickt.

In diesem Projekt soll die dynamische Lastverteilung für ein einfaches Diffusionsproblem getestet werden. Dazu muss ein ein einfaches FE-Verfahren sowie ein Fehlerschätzer für das Diffusionsproblem implementiert werden. Weiterhin werden verschiedene Strategien zur effizienten Verteilung der Last studiert.

Basis der Implementierung ist der FE-Code UG, der adaptive Verfeinerung and dynamisches Lastverteilen (im Prinzip) auch für größere Prozessorzahlen bereitstellt. UG wird dabei durch dei DUNE-Gitterschnittstelle verwendet.


Voraussetzungen: Erfahrung mit C und/oder C++

Programmieranteil: Der UG Code ist altbewährt, aber die Gitterverteilung enthält leider noch ein paar Bugs, die nur mit etwas Geduld gefunden werden können. Dies ist also ein Projekt für furchtlose Leute, die Spaß daran haben, tief in einen existierenden komplizierten Code einzusteigen.



Isogeometrische Analysis

Hinter dem Schlagwort "Isogeometrische Analysis" verbirgt sich die Finite-Elemente-Methode. Allerdings werden hier statt der normalen Lagrange-Polynome Spline-Funktionen zum Interpolieren verwendet. Der Vorteil ist, dass man sich in vielen Fällen die aufwändige Gittererzeugung sparen kann. In vielen technischen Anwendungen werden die Gebiete nämlich auch durch Splines beschrieben, und mit isogeometrischer Analysis kann man direkt darauf rechnen.

Ziel dieses Projekts ist es, die Isogeometrische Analysis zu verstehen, und die Spline-Basisfunktionen in DUNE einzubauen.


Stand:
Autor: Oliver Sander